Упр.1.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) какое наибольшее значение может принимать произведение этих чисел;
2) какое наименьшее значение может принимать сумма квадратов этих чисел.

Пусть $$x$$ и $$y$$ — данные числа. Тогда

$$x+y=8, \qquad y=8-x.$$

1. Найдём наибольшее значение произведения:

   $$P=xy=x(8-x)=8x-x^2.$$

   Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, значит, наибольшее значение достигается в вершине:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot(-1)}=4.$$

   Тогда

   $$P_{\max}=P(4)=4\cdot 4=16.$$

2. Найдём наименьшее значение суммы квадратов:

   $$S=x^2+y^2=x^2+(8-x)^2.$$

   Преобразуем:

   $$S=x^2+64-16x+x^2=2x^2-16x+64.$$

   Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх, значит, наименьшее значение достигается в вершине:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-16}{2\cdot 2}=4.$$

   Тогда

   $$S_{\min}=S(4)=4^2+4^2=16+16=32.$$

Ответ

1) $$16$$; 2) $$32$$.