Упр.1.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Исследуйте на чётность функцию: 1) $$f(x)=x^2+2x-4$$; 3) $$f(x)=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}$$; 2) $$f(x)=\frac{6x^3}{x^2-9}$$; 4) $$f(x)=\frac{x^2+6x}{2x+12}$$.
1) $$f(x)=x^2+2x-4$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём $$f(-x)$$:
$$f(-x)=(-x)^2+2(-x)-4=x^2-2x-4.$$
Так как $$f(-x)\ne f(x)$$ и $$f(-x)\ne -f(x),$$ функция не является ни чётной, ни нечётной.
2) $$f(x)=\dfrac{6x^3}{x^2-9}$$
Область определения: $$x^2-9\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pm 3.$$
Следовательно, $$D(f)=(-\infty;-3)\cup(-3;3)\cup(3;+\infty).$$
Найдём $$f(-x)$$:
$$f(-x)=\dfrac{6(-x)^3}{(-x)^2-9}=\dfrac{-6x^3}{x^2-9}=-f(x).$$
Значит, функция нечётная.
3) $$f(x)=\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{1}{1+x}$$
Область определения: $$1-x\ne 0,\;1+x\ne 0,$$ то есть $$x\ne 1,\;x\ne -1.$$
Следовательно, $$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty).$$
Найдём $$f(-x)$$:
$$f(-x)=\dfrac{1}{1-(-x)}+\dfrac{1}{1+(-x)}=\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1-x}=f(x).$$
Значит, функция чётная.
4) $$f(x)=\dfrac{x^2+6x}{2x+12}$$
Область определения: $$2x+12\ne 0,$$ то есть $$x\ne -6.$$
Следовательно, $$D(f)=(-\infty;-6)\cup(-6;+\infty).$$
Область определения не симметрична относительно нуля, значит функция не может быть ни чётной, ни нечётной.
Ответ
1) ни чётная, ни нечётная; 2) нечётная; 3) чётная; 4) ни чётная, ни нечётная.
