Упр.1.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=x/x; 3) f(x)=(x^2-1)/(x^2-1); 5) f(x)=v(x-1)·v(x+1);
2) f(x)=(x-1)/(x-1); 4) f(x)=v(x^2-1); 6) f(x)=(x^3-x^2)/(x^3-x).

Подробный ответ

$$f(x)=\frac{x}{x}$$
Область определения: $$x\ne 0$$, то есть $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=\frac{-x}{-x}=\frac{x}{x}=f(x).$$
Функция чётная.
$$f(x)=\frac{x-1}{x-1}$$
Область определения: $$x\ne 1$$, то есть $$D(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$
Область определения несимметрична относительно нуля, значит функция не может быть ни чётной, ни нечётной.
$$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-1}$$
Область определения: $$x^2-1\ne 0,$$ откуда $$x\ne \pm 1.$$
Значит, $$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty).$$
Проверим:
$$f(-x)=\frac{(-x)^2-1}{(-x)^2-1}=\frac{x^2-1}{x^2-1}=f(x).$$
Функция чётная.
$$f(x)=\sqrt{x^2-1}$$
Для существования корня нужно:
$$x^2-1\ge 0,$$
$$x\le -1 \text{ или } x\ge 1.$$
Следовательно, $$D(f)=(-\infty;-1]\cup[1;+\infty).$$
Проверим:
$$f(-x)=\sqrt{(-x)^2-1}=\sqrt{x^2-1}=f(x).$$
Функция чётная.
$$f(x)=\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+1}$$
Для существования выражения нужно:
$$x-1\ge 0,\qquad x+1\ge 0.$$
Отсюда $$x\ge 1,$$ значит $$D(f)=[1;+\infty).$$
Область определения несимметрична относительно нуля, поэтому функция ни чётная, ни нечётная.
$$f(x)=\frac{x^3-x^2}{x^3-x}$$
Область определения: $$x^3-x\ne 0,$$
$$x(x^2-1)\ne 0,$$
$$x(x-1)(x+1)\ne 0.$$
Значит, $$x\ne -1,\;0,\;1,$$ и
$$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty).$$
Проверим:
$$f(-x)=\frac{(-x)^3-(-x)^2}{(-x)^3-(-x)}=\frac{-x^3-x^2}{-x^3+x}=\frac{x^3+x^2}{x^3-x}.$$
Это не равно ни $$f(x),$$ ни $$-f(x),$$ значит функция ни чётная, ни нечётная.