Упр.1.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=x-1/x; 3) g(x)=|x|/x;
2) f(x)=(x^3+x)(x^4-x^2); 4) g(x)=(|4x-1|-|4x+1|)/(x^4-1).

1. $$f(x)=x-\frac{1}{x}$$

   Область определения: $$x\ne 0$$, то есть $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

   Проверим чётность:

   $$f(-x)=(-x)-\frac{1}{-x}=-x+\frac{1}{x}=-(x-\frac{1}{x})=-f(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

2. $$f(x)=(x^3+x)(x^4-x^2)$$

   Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

   Проверим:

   $$ f(-x)=((-x)^3+(-x))\bigl((-x)^4-(-x)^2\bigr) \\ =(-x^3-x)(x^4-x^2) \\ =-(x^3+x)(x^4-x^2)=-f(x). $$

   Значит, функция нечётная.

3. $$g(x)=\frac{|x|}{x}$$

   Область определения: $$x\ne 0$$, то есть $$D(g)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

   Проверим:

   $$g(-x)=\frac{|-x|}{-x}=\frac{|x|}{-x}=-\frac{|x|}{x}=-g(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

4. $$g(x)=\frac{|4x-1|-|4x+1|}{x^4-1}$$

   Область определения: $$x^4-1\ne 0,$$ значит $$x\ne \pm 1.$$

   Итак, $$D(g)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty).$$

   Проверим:

   $$ g(-x)=\frac{|4(-x)-1|-|4(-x)+1|}{(-x)^4-1} =\frac{|-4x-1|-|-4x+1|}{x^4-1} =\frac{|4x+1|-|4x-1|}{x^4-1}. $$

   Тогда

   $$ g(-x)=-\frac{|4x-1|-|4x+1|}{x^4-1}=-g(x). $$

   Следовательно, функция нечётная.

Ответ

1) нечётная; 2) нечётная; 3) нечётная; 4) нечётная.