Упр.1.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Докажите, что является нечётной функция:
   
   1) $$f(x)=4x^7$$;
   
   4) $$f(x)=(5-x)^2-(5+x)^2$$;
   
   2) $$f(x)=2x-3x^5$$;
   
   5) $$g(x)=\sqrt{2-x}-\sqrt{2+x}$$;
   
   3) $$f(x)=x|x|$$;
   
   6) $$g(x)=\frac{3x+2}{x^2-x+1}+\frac{3x-2}{x^2+x+1}$$.

Проверим для каждой функции равенство $$f(-x)=-f(x).$$ Если оно выполняется, то функция нечётная.

1. $$f(x)=4x^7.$$

   Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

   $$f(-x)=4(-x)^7=-4x^7=-f(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

2. $$f(x)=2x-3x^5.$$

   Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

   $$f(-x)=2(-x)-3(-x)^5=-2x+3x^5=-f(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

3. $$f(x)=x|x|.$$

   Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

   $$f(-x)=(-x)|-x|=-x|x|=-f(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

4. $$f(x)=(5-x)^2-(5+x)^2.$$

   Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

   $$f(-x)=(5-(-x))^2-(5+(-x))^2=(5+x)^2-(5-x)^2=-f(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

5. $$g(x)=\sqrt{2-x}-\sqrt{2+x}.$$

   Область определения:

   $$2-x\ge 0 \Rightarrow x\le 2,$$

   $$2+x\ge 0 \Rightarrow x\ge -2.$$

   Значит, $$D(g)=[-2;2].$$

   $$g(-x)=\sqrt{2-(-x)}-\sqrt{2+(-x)}=\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}=-g(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

6. $$g(x)=\frac{3x+2}{x^2-x+1}+\frac{3x-2}{x^2+x+1}.$$

   Область определения: знаменатели не обращаются в нуль, так как

   $$D_1=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1=-3<0,$$

   $$D_2=1^2-4\cdot 1\cdot 1=-3<0.$$

   Значит, $$D(g)=(-\infty;+\infty).$$

   Найдём $$g(-x):$$

   $$g(-x)=\frac{3(-x)+2}{(-x)^2-(-x)+1}+\frac{3(-x)-2}{(-x)^2+(-x)+1} =\frac{-3x+2}{x^2+x+1}+\frac{-3x-2}{x^2-x+1}.$$

   Переставим слагаемые:

   $$g(-x)=\frac{-3x-2}{x^2-x+1}+\frac{-3x+2}{x^2+x+1}=-g(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

Ответ: все данные функции нечётные.