Упр.1.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=4x^7; 4) f(x)=(5-x)^2-(5+x)^2;
2) f(x)=2x-3x^5; 5) g(x)=v(2-x)-v(2+x);
3) f(x)=x|x|; 6) g(x)=(3x+2)/(x^2-x+1)+(3x-2)/(x^2+x+1).

Подробный ответ

$$f(x)=4x^7$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Проверим нечётность:
$$f(-x)=4(-x)^7=-4x^7=-f(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
$$f(x)=2x-3x^5$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Проверим нечётность:
$$f(-x)=2(-x)-3(-x)^5=-2x+3x^5=-(2x-3x^5)=-f(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
$$f(x)=x|x|$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Проверим нечётность:
$$f(-x)=(-x)|-x|=-x|x|=-f(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
$$f(x)=(5-x)^2-(5+x)^2$$
Упростим выражение:
$$ f(x)=(25-10x+x^2)-(25+10x+x^2)=-20x. $$
Тогда
$$f(-x)=-20(-x)=20x=-f(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
$$g(x)=\sqrt{2-x}-\sqrt{2+x}$$
Область определения:
$$ 2-x\ge 0,\quad 2+x\ge 0 $$
$$ x\le 2,\quad x\ge -2 $$
$$ D(g)=[-2;2]. $$
Проверим нечётность:
$$ g(-x)=\sqrt{2-(-x)}-\sqrt{2+(-x)}=\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}=-g(x). $$
Следовательно, функция нечётная.
$$g(x)=\frac{3x+2}{x^2-x+1}+\frac{3x-2}{x^2+x+1}$$
Найдём область определения. Знаменатели не обращаются в нуль, так как
$$ x^2-x+1=0,\quad D=1-4=-3<0; $$
$$ x^2+x+1=0,\quad D=1-4=-3<0. $$
Значит, $$D(g)=(-\infty;+\infty).$$
Проверим нечётность:
$$ g(-x)=\frac{-3x+2}{x^2+x+1}+\frac{-3x-2}{x^2-x+1}. $$
Приведём к виду:
$$ g(-x)=-\frac{3x-2}{x^2+x+1}-\frac{3x+2}{x^2-x+1}=-g(x). $$
Следовательно, функция нечётная.