Упр.1.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=-5x^4; 3) f(x)=v(4-x)+v(4+x);
2) f(x)=(x^2+1)/(x^2-4); 4) f(x)=x^3/(v(1-x)-v(x+1)).

Подробный ответ

$$f(x)=-5x^4$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=-5(-x)^4=-5x^4=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.
$$f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-4}$$
Область определения: $$x^2-4\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pm 2.$$
Значит, $$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=\frac{(-x)^2+1}{(-x)^2-4}=\frac{x^2+1}{x^2-4}=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.
$$f(x)=\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x}$$
Для существования функции нужно, чтобы
$$4-x\ge 0,\qquad 4+x\ge 0.$$
Отсюда $$x\le 4$$ и $$x\ge -4,$$ значит
$$D(f)=[-4;4].$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=\sqrt{4-(-x)}+\sqrt{4+(-x)}=\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x}=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.
$$f(x)=\frac{x^3}{\sqrt{1-x}-\sqrt{x+1}}$$
Найдём область определения:
$$1-x\ge 0,\qquad x+1\ge 0,$$
то есть $$x\le 1$$ и $$x\ge -1.$$ Кроме того, знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$\sqrt{1-x}-\sqrt{x+1}\ne 0.$$
Равенство возможно только при $$x=0,$$ значит $$x\ne 0.$$
Итак,
$$D(f)=[-1;0)\cup(0;1].$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=\frac{(-x)^3}{\sqrt{1-(-x)}-\sqrt{(-x)+1}}=\frac{-x^3}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}.$$
Умножим числитель и знаменатель на $$-1$$:
$$f(-x)=\frac{x^3}{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}.$$
Так как
$$\sqrt{1+x}=\sqrt{x+1},$$
получаем
$$f(-x)=\frac{x^3}{\sqrt{1-x}-\sqrt{x+1}}=f(x).$$
Следовательно, функция чётная.