Упр.1.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Докажите, что функция является чётной:

1. $$f(x)=-5x^4$$;
2. $$f(x)=\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x}$$;
3. $$f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-4}$$;
4. $$f(x)=\frac{x^3}{\sqrt{1-x}-\sqrt{x+1}}$$.

Проверим, что для каждой функции выполняется равенство $$f(-x)=f(x).$$

1. $$f(x)=-5x^4.$$

   Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

   Тогда

   $$f(-x)=-5(-x)^4=-5x^4=f(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

2. $$f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-4}.$$

   Область определения: $$x^2-4\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pm 2.$$ Значит,

   $$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$

   Эта область симметрична относительно нуля. Найдём $$f(-x):$$

   $$f(-x)=\frac{(-x)^2+1}{(-x)^2-4}=\frac{x^2+1}{x^2-4}=f(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

3. $$f(x)=\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x}.$$

   Для существования выражения нужно, чтобы

   $$4-x\ge 0,\qquad 4+x\ge 0.$$

   Отсюда $$x\le 4$$ и $$x\ge -4,$$ значит

   $$D(f)=[-4;4].$$

   Область определения симметрична. Тогда

   $$f(-x)=\sqrt{4-(-x)}+\sqrt{4+(-x)}=\sqrt{4+x}+\sqrt{4-x}=f(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

4. $$f(x)=\frac{x^3}{\sqrt{1-x}-\sqrt{x+1}}.$$

   Для существования выражения нужно, чтобы

   $$1-x\ge 0,\qquad x+1\ge 0,$$

   то есть $$x\le 1$$ и $$x\ge -1.$$ Кроме того, знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$\sqrt{1-x}-\sqrt{x+1}\ne 0.$$

   Равенство $$\sqrt{1-x}=\sqrt{x+1}$$ возможно при $$1-x=x+1,$$ откуда $$x=0.$$ Значит,

   $$D(f)=[-1;0)\cup(0;1].$$

   Эта область симметрична относительно нуля. Найдём $$f(-x):$$

   $$f(-x)=\frac{(-x)^3}{\sqrt{1-(-x)}-\sqrt{(-x)+1}}=\frac{-x^3}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}.$$

   Умножим числитель и знаменатель на $$-1$$:

   $$f(-x)=\frac{x^3}{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}=f(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

Ответ: все четыре функции чётные.