Проверь себя Глава 1 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

2. Записать число 0,00038 в стандартном виде.
3. Решить систему уравнений
2x-3y=7,
3x+4y=2.
4. Решить систему неравенств
5x+3 > 0,
1/2*x — 4 < 0. 5. Вынести множитель из-под знака корня корень 9x3y5, если x < 0 и у < 0. 6. Решить уравнение 5x + 3 - 2x2 = 0. 7. Построить график функции у = х2 - 5х + 6. 8. Выписать первые пять членов последовательности, заданной рекуррентной формулой аn + 1= -аn2 + 1 и условием a1 = 2. 9. Найти моду, медиану и среднее значение выборки 5, 3, 8, 7, 4, 5. 1. Выполнить действия: 2. Решить уравнение |2х - 3| = 5. 3. Решить систему неравенств 2x2+x-6 > =0,
3x+1 < 0. 4. Извлечь корень корень (а2 - 4а + 4), если а < 2. 5. Построить график функции у = 1/(x+1) - 2. 6. Найти сумму членов арифметической прогрессии а1, а2, ..., an, ... с девятого по семнадцатый включительно, если аn = 2n - 3. 7. Найти А пересекает В и А объединение В, если A = {1; 2; 3; 4}, В = {х : 3 < х < 5}. 8. Опровергнуть утверждение: «Число вида n+3/2, где n принадлежит N, является целым числом», приведя контрпример. 9. Для предложения р(х): «Четырёхугольник x является прямоугольником» — определить, истинным или ложным является высказывание (х)р(х); (х)р(х). 10. Сформулировать теорему, обратную теореме «Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, имеет длину, равную половине длины третьей стороны». Верна ли прямая теорема? обратная теорема?

1. $$\dfrac{(a^3)^5\cdot a^0\cdot a^2}{a^{-2}}=\dfrac{a^{15}\cdot a^2}{a^{-2}}=\dfrac{a^{17}}{a^{-2}}=a^{19}.$$

2. $$0{,}00038=3{,}8\cdot 10^{-4}.$$

3. $$\begin{cases} 2x-3y=7,\\ 3x+4y=2 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$2x=3y+7,\quad x=\dfrac{3y+7}{2}.$$
   Подставим во второе:
   $$3\cdot \dfrac{3y+7}{2}+4y=2,$$
   $$9y+21+8y=4,$$
   $$17y=-17,\quad y=-1.$$
   Тогда
   $$x=\dfrac{3\cdot(-1)+7}{2}=2.$$

   $$\left(2;\,-1\right).$$

4. $$\begin{cases} 5x+3>0,\\ \dfrac12 x-4<0 \end{cases}$$
   $$5x>-3,\quad x>-\dfrac35;$$
   $$\dfrac12 x<4,\quad x<8.$$

   $$x\in\left(-\dfrac35;\,8\right).$$

5. $$\sqrt{9x^3y^5}=\sqrt{9x^2\cdot x\cdot y^4\cdot y} = 3|x|y^2\sqrt{xy}.$$
   Так как $$x<0$$ и $$y<0,$$ то $$|x|=-x,$$ значит
   $$\sqrt{9x^3y^5}=-3xy^2\sqrt{xy}.$$

6. $$5x+3-2x^2=0,$$
   $$2x^2-5x-3=0.$$
   $$D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49.$$
   $$x_{1,2}=\dfrac{5\pm 7}{4}.$$
   Тогда
   $$x_1=-\dfrac12,\quad x_2=3.$$

7. $$y=x^2-5x+6=(x-2{,}5)^2-0{,}25.$$

   Вершина параболы: $$\left(2{,}5;\,-0{,}25\right).$$

   Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$x=2$$ и $$x=3,$$ то есть $$\left(2;0\right)$$ и $$\left(3;0\right).$$

   Для построения можно взять также точки $$\left(0;6\right),\left(4;2\right),\left(5;6\right).$$

8. $$a_{n+1}=-a_n^2+1,\quad a_1=2.$$
   Тогда:
   $$a_2=-2^2+1=-3,$$
   $$a_3=-(-3)^2+1=-8,$$
   $$a_4=-(-8)^2+1=-63,$$
   $$a_5=-(-63)^2+1=-3968.$$

   Первые пять членов: $$2,\,-3,\,-8,\,-63,\,-3968.$$

9. Упорядочим выборку:
   $$3,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 8.$$
   Мода: $$5.$$
   Медиана:
   $$\dfrac{5+5}{2}=5.$$
   Среднее значение:
   $$\overline{x}=\dfrac{3+4+5+5+7+8}{6}=\dfrac{32}{6}=5\dfrac13.$$

10. $$\left(\dfrac{1}{\sqrt a-\sqrt b}-\dfrac{1}{\sqrt a+\sqrt b}\right):\dfrac{b\sqrt b}{a-b}$$
    $$=\dfrac{(\sqrt a+\sqrt b)-(\sqrt a-\sqrt b)}{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}:\dfrac{b\sqrt b}{a-b}$$
    $$=\dfrac{2\sqrt b}{a-b}\cdot \dfrac{a-b}{b\sqrt b}=\dfrac{2}{b}.$$

11. $$|2x-3|=5.$$
    Тогда
    $$2x-3=5 \quad \text{или} \quad 2x-3=-5.$$
    Отсюда
    $$x=4 \quad \text{или} \quad x=-1.$$

12. $$\begin{cases} 2x^2+x-6\ge 0,\\ 3x+1<0 \end{cases}$$
    $$2x^2+x-6=(2x-3)(x+2).$$
    Тогда
    $$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge \dfrac32.$$
    Из второго неравенства:
    $$x<-\dfrac13.$$
    Пересечение решений:
    $$x\in(-\infty;\,-2].$$

13. $$\sqrt{a^2-4a+4}=\sqrt{(a-2)^2}=|a-2|.$$
    Так как $$a<2,$$ то $$|a-2|=2-a.$$

14. $$y=\dfrac{1}{x+1}-2.$$
    Это график функции $$y=\dfrac1x,$$ сдвинутый на 1 единицу влево и на 2 единицы вниз.

    Асимптоты: $$x=-1$$ и $$y=-2.$$

15. $$a_n=2n-3.$$
    $$a_9=15,\quad a_{17}=31.$$
    Сумма с девятого по семнадцатый член:
    $$S=\dfrac{a_9+a_{17}}{2}\cdot 9=\dfrac{15+31}{2}\cdot 9=207.$$

16. $$A=\{1,2,3,4\},\quad B=\{x:3<x<5\}.$$
    Тогда
    $$A\cap B=\{4\},$$
    $$A\cup B=\{1,2,3,4\}\cup(3,5).$$

17. Контрпример: при $$n=2$$ получаем
    $$\dfrac{n+3}{2}=\dfrac{5}{2},$$
    а это не целое число.

18. $$\forall x\, p(x)$$ — ложное, так как не каждый четырёхугольник является прямоугольником.
    $$\exists x\, p(x)$$ — истинное, так как существуют прямоугольники.

19. Обратная теорема: если отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, равен половине третьей стороны, то этот отрезок параллелен третьей стороне.

    Прямая теорема верна. Обратная теорема тоже верна.

Ответ

1) $$a^{19}$$; 2) $$3{,}8\cdot 10^{-4}$$; 3) $$\left(2;\,-1\right)$$; 4) $$x\in\left(-\dfrac35;\,8\right)$$; 5) $$-3xy^2\sqrt{xy}$$; 6) $$-\dfrac12,\ 3$$; 7) парабола с вершиной $$\left(2{,}5;\,-0{,}25\right)$$; 8) $$2,\,-3,\,-8,\,-63,\,-3968$$; 9) $$5,\ 5,\ 5\dfrac13$$; 10) $$\dfrac{2}{b}$$; 11) $$-1,\ 4$$; 12) $$(-\infty;\,-2]$$; 13) $$2-a$$; 14) график $$y=\dfrac{1}{x+1}-2$$; 15) $$207$$; 16) $$A\cap B=\{4\},\ A\cup B=\{1,2,3,4\}\cup(3,5)$$; 17) контрпример: $$n=2$$; 18) $$\forall x\,p(x)$$ — ложное, $$\exists x\,p(x)$$ — истинное; 19) обратная теорема: если отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, равен половине третьей стороны, то он параллелен этой стороне.