Проверь себя Глава 8 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. $$\cos a=-\frac45,\quad \frac{\pi}{2}

   Так как угол лежит во II четверти, то $$\sin a>0.$$ Тогда

   $$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac35.$$

   $$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac35:\left(-\frac45\right)=-\frac34.$$

   $$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}.$$

2. $$\cos 135^\circ=\cos(180^\circ-45^\circ)=-\cos45^\circ=-\frac{\sqrt2}{2};$$

   $$\sin\frac{8\pi}{3}=\sin\left(\frac{8\pi}{3}-2\pi\right)=\sin\frac{2\pi}{3}=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2};$$

   $$\tg\frac{7\pi}{3}=\tg\left(\frac{7\pi}{3}-2\pi\right)=\tg\frac{\pi}{3}=\sqrt3;$$

   $$\cos^2\frac{\pi}{8}-\sin^2\frac{\pi}{8}=\cos\frac{2\pi}{8}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

3. $$\sin(a-\beta)-\sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\cdot\sin(-\beta)$$

   $$=\sin a\cos\beta-\cos a\sin\beta+\cos a\sin\beta=\sin a\cos\beta.$$

   $$\cos^2(\pi-a)-\cos^2\left(\frac{\pi}{2}-a\right)$$

   $$=\cos^2 a-\sin^2 a=\cos 2a.$$

   $$2\sin a\sin\beta+\cos(a+\beta)$$

   $$=2\sin a\sin\beta+\cos a\cos\beta-\sin a\sin\beta$$

   $$=\cos a\cos\beta+\sin a\sin\beta=\cos(a-\beta).$$

4. $$3\cos 2a+\sin^2 a-\cos^2 a=2\cos 2a.$$

   $$3\cos 2a-(\cos^2 a-\sin^2 a)=2\cos 2a,$$

   $$3\cos 2a-\cos 2a=2\cos 2a,$$

   $$2\cos 2a=2\cos 2a.$$

   Тождество доказано.

   $$\frac{\sin 5a-\sin 3a}{2\cos 4a}=\sin a.$$

   $$\sin 5a-\sin 3a=2\sin\frac{5a+3a}{2}\cos\frac{5a-3a}{2}=2\sin 4a\cos a.$$

   Тогда

   $$\frac{\sin 5a-\sin 3a}{2\cos 4a}=\frac{2\sin 4a\cos a}{2\cos 4a}=\sin a.$$

   Тождество доказано.

5. $$\tg a=2{,}4=\frac{12}{5},\quad \pi<a<\frac{3\pi}{2}.$$

   Угол в III четверти, значит $$\sin a<0,\ \cos a<0.$$

   $$\cos a=-\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 a}}=-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{144}{25}}}=-\frac{5}{13};$$

   $$\sin a=\tg a\cdot \cos a=\frac{12}{5}\cdot\left(-\frac{5}{13}\right)=-\frac{12}{13}.$$

6. $$\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)-\cos\frac{3\pi}{4}-2\cos\pi$$

   $$=-\sin\frac{\pi}{4}-\cos\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)-2\cdot(-1)$$

   $$=-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}+2=2.$$

   $$\sin\frac{16\pi}{3}+\tg\frac{9\pi}{4}+\frac12\ctg\frac{5\pi}{6}$$

   $$=\sin\left(\frac{16\pi}{3}-4\pi\right)+\tg\left(\frac{9\pi}{4}-2\pi\right)+\frac12\ctg\left(\frac{5\pi}{6}-\pi\right)$$

   $$=\sin\frac{4\pi}{3}+\tg\frac{\pi}{4}+\frac12\ctg\left(-\frac{\pi}{6}\right)$$

   $$=-\sin\frac{\pi}{3}+1-\frac12\ctg\frac{\pi}{6}$$

   $$=-\frac{\sqrt3}{2}+1-\frac{\sqrt3}{2}=1-\sqrt3.$$

7. Определим знаки множителей в произведении $$\sin 2\cdot \cos 3\cdot \tg 4.$$

   $$\frac{\pi}{2}<2<\pi \Rightarrow \sin 2>0;$$

   $$\frac{\pi}{2}<3<\pi \Rightarrow \cos 3<0;$$

   $$\pi<4<\frac{3\pi}{2} \Rightarrow \tg 4>0.$$

   Следовательно, произведение отрицательно.

8. $$\left(2-\frac{2}{\sin^2(\pi+a)}\right)\left(\frac{1}{\cos^2(a-\pi)}-1\right)$$

   $$=\left(2-\frac{2}{\sin^2 a}\right)\left(\frac{1}{\cos^2 a}-1\right)$$

   $$=2\cdot\frac{\sin^2 a-1}{\sin^2 a}\cdot\frac{1-\cos^2 a}{\cos^2 a}$$

   $$=2\cdot\frac{-\cos^2 a}{\sin^2 a}\cdot\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}=-2.$$

9. $$\frac{(\sin a-\cos a)^2-1}{\tg a-\sin a\cdot\cos a}=-2\ctg^2 a.$$

   Числитель:

   $$ (\sin a-\cos a)^2-1=\sin^2 a-2\sin a\cos a+\cos^2 a-1=-2\sin a\cos a.$$

   Знаменатель:

   $$\tg a-\sin a\cos a=\frac{\sin a}{\cos a}-\sin a\cos a=\frac{\sin a-\sin a\cos^2 a}{\cos a}=\frac{\sin a(1-\cos^2 a)}{\cos a}=\frac{\sin^3 a}{\cos a}.$$

   Тогда

   $$\frac{-2\sin a\cos a}{\sin^3 a/\cos a}=-2\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}=-2\ctg^2 a.$$

   Тождество доказано.

10. $$1+\sin(2x+4\pi)-2\cos^2 2x=2\sin^2 2x.$$

    Так как $$\sin(2x+4\pi)=\sin 2x,$$ получаем

    $$1+\sin 2x-2\cos^2 2x=2\sin^2 2x.$$

    Используем $$2\sin^2 2x=1-\cos 4x$$ и $$2\cos^2 2x=1+\cos 4x$$:

    $$1+\sin 2x-(1+\cos 4x)=1-\cos 4x,$$

    $$\sin 2x=1.$$

    Отсюда

    $$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

    $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\sin a=\frac35,\ \tg a=-\frac34,\ \cos 2a=\frac{7}{25}$$;
2) $$-\frac{\sqrt2}{2},\ \frac{\sqrt3}{2},\ \sqrt3,\ \frac{\sqrt2}{2}$$;
3) $$\sin a\cos\beta,\ \cos 2a,\ \cos(a-\beta)$$;
4) тождества верны;
5) $$\cos a=-\frac{5}{13},\ \sin a=-\frac{12}{13}$$;
6) $$2,\ 1-\sqrt3$$;
7) $$(-)$$;
8) $$-2$$;
9) $$-2\ctg^2 a$$;
10) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.