Проверь себя Глава 3 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)
2. Не преобразуя многочлен Р(х) = 5(x2 — 7x + 12) + 11(х2 — 8x + 15), установить, делится ли он на двучлен х — 3.
3. Решить уравнение x3 + 2×2 — 5x — 6 = 0.
4. Записать разложение бинома (2a- 1/5)5.
5. Решить систему уравнений
x2-xy-y2=19,
х-у = 7.
6. Сумма квадратов числителя и знаменателя некоторой дроби равна 25. Сумма этой и обратной ей дроби равна 25/12. Найти исходную дробь.
1. Разложить на множители многочлен
х6 + х4 — 2х3 — 2×2 — 3х — 3.
2. Решить уравнение 10/(5-x) + (3x+6)/(6-2x) = 3/(x-3)-(x-1).
3. Уравнение х3 + х2 + ах + b = 0 имеет корни х1 = 1, х2 = -2. Найти а, b и третий корень этого уравнения.
4. Найти член разложения (корень x + 1/корень x)10, содержащий x2.
5. Решить систему уравнений
12х2 + 3ху — 2у2 = 0,
12у2 + ху + х + Зу = 5.
6. Две бригады, из которых вторая начинает работать на 5 дней позже первой, закончили работу за 15 дней, считая от момента начала работы второй бригады. Если бы эта работа была поручена каждой бригаде отдельно, то для её выполнения первой бригаде понадобилось бы па 10 дней больше, чем второй. За сколько дней может выполнить эту работу каждая бригада, работая отдельно?
Выполним деление многочлена $$x^5+2x^4-3x^3+2x^2-3x$$ на $$x^2+x+1$$:
$$x^5+2x^4-3x^3+2x^2-3x=(x^2+x+1)(x^3+x^2-5x+6)-4x-6.$$
Значит, частное равно $$x^3+x^2-5x+6$$, остаток — $$-4x-6$$.
Проверим делимость на $$x-3$$ по теореме Безу:
$$P(x)=5(x^2-7x+12)+11(x^2-8x+15).$$
$$P(3)=5(9-21+12)+11(9-24+15)=5\cdot 0+11\cdot 0=0.$$
Следовательно, многочлен делится на $$x-3$$.
Решим уравнение:
$$x^3+2x^2-5x-6=0.$$
Подбором корня получаем $$x=2$$. Тогда
$$ x^3+2x^2-5x-6=(x-2)(x^2+4x+3). $$
$$ (x-2)(x+1)(x+3)=0. $$
$$x=-3,\,-1,\,2.$$
По формуле бинома Ньютона:
$$ \left(2a-\frac15\right)^5= 32a^5-16a^4+\frac{16}{5}a^3-\frac{8}{25}a^2+\frac{2}{125}a-\frac{1}{3125}. $$
Решим систему:
$$ \begin{cases} x^2-xy-y^2=19,\\ x-y=7. \end{cases} $$
Из второго уравнения $$y=x-7$$. Подставим в первое:
$$ x^2-x(x-7)-(x-7)^2=19; $$
$$ x^2-21x+68=0. $$$$ D=21^2-4\cdot 68=169, $$
$$ x_1=4,\quad x_2=17. $$Тогда
$$ y_1=4-7=-3,\quad y_2=17-7=10. $$Получаем пары $$ (4;\,-3) $$ и $$ (17;\,10) $$.
Пусть искомая дробь равна $$\frac{m}{n}$$. Тогда
$$ m^2+n^2=25,\qquad \frac{m}{n}+\frac{n}{m}=\frac{25}{12}. $$
Из второго уравнения:
$$ \frac{m^2+n^2}{mn}=\frac{25}{12}. $$
Так как $$m^2+n^2=25$$, то $$mn=12$$.
Тогда
$$ m^2+n^2=25,\qquad mn=12. $$
Решая, получаем $$m^2=16,\ n^2=9$$ или $$m^2=9,\ n^2=16$$. Подходящие дроби:
$$\frac{3}{4}\quad \text{и}\quad \frac{4}{3}.$$
Разложим на множители многочлен:
$$ x^6+x^4-2x^3-2x^2-3x-3. $$
Группируем слагаемые:
$$ x^6+x^4-2x^3-2x^2-3x-3 =x^4(x^2+1)-2x^2(x+1)-3(x+1). $$
Удобнее представить так:
$$ x^6+x^4-2x^3-2x^2-3x-3=(x+1)(x^4-2x^2-3). $$
$$ x^4-2x^2-3=(x^2-3)(x^2+1). $$
Значит,
$$ x^6+x^4-2x^3-2x^2-3x-3=(x+1)(x^2-3)(x^2+1). $$Решим уравнение:
$$ \frac{10}{5-x}+\frac{3x+6}{6-2x}=\frac{3}{x-3}-(x-1). $$
ОДЗ: $$x\ne 5,\ x\ne 3.$$ Преобразуем:
$$ \frac{10}{5-x}=-\frac{10}{x-5},\qquad \frac{3x+6}{6-2x}=-\frac{3x+6}{2(x-3)}. $$
После приведения к общему знаменателю получаем:
$$ x(3x^2-4x-23)=0. $$
$$ x=0 $$
или
$$ 3x^2-4x-23=0. $$$$ D=4^2+4\cdot 3\cdot 23=292, $$
$$ x=\frac{4\pm \sqrt{292}}{6}=\frac{2\pm \sqrt{73}}{3}. $$Ответы: $$0,\ \frac{2-\sqrt{73}}{3},\ \frac{2+\sqrt{73}}{3}.$$
Пусть корни уравнения $$x^3+x^2+ax+b=0$$ равны $$1$$, $$-2$$ и $$x_3$$. По теореме Виета:
$$ 1+(-2)+x_3=-1, $$
значит
$$ x_3=0. $$Сумма попарных произведений корней равна $$a$$:
$$ 1\cdot(-2)+1\cdot 0+(-2)\cdot 0=-2, $$
значит
$$ a=-2. $$Произведение корней равно $$-b$$:
$$ 1\cdot(-2)\cdot 0=0, $$
значит
$$ b=0. $$Найдем член разложения $$\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{10}$$, содержащий $$x^2$$.
Общий член:
$$ T_{n+1}=C_{10}^n(\sqrt{x})^{10-n}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^n =C_{10}^n x^{\frac{10-2n}{2}}. $$
Требуемая степень:
$$ \frac{10-2n}{2}=2,\qquad 10-2n=4,\qquad n=3. $$
$$ C_{10}^3=\frac{10!}{3!\,7!}=120. $$
Искомый член равен $$120x^2$$.
Решим систему:
$$ \begin{cases} 12x^2+3xy-2y^2=0,\\ 12y^2+xy+x+3y=5. \end{cases} $$
Первое уравнение рассматриваем как квадратное относительно $$x$$:
$$ 12x^2+3yx-2y^2=0. $$
$$ D=(3y)^2-4\cdot 12\cdot(-2y^2)=105y^2, $$
поэтому
$$ x=\frac{-3y\pm \sqrt{105}\,|y|}{24}. $$После подстановки в второе уравнение получаем два случая, из которых подходит решение:
$$ (x,y)=(-10,5). $$
Пусть первая бригада выполняет работу за $$x$$ дней, тогда вторая — за $$x-10$$ дней. По условию:
$$ \frac{20}{x}+\frac{15}{x-10}=1. $$
Умножим на $$x(x-10)$$:
$$ 20(x-10)+15x=x(x-10). $$
$$ x^2-45x+200=0. $$
$$ D=45^2-4\cdot 200=1225, $$
$$ x_1=5,\quad x_2=40. $$Так как $$x>10$$, получаем $$x=40$$, а вторая бригада выполнит работу за $$30$$ дней.
Ответ
1) $$x^3+x^2-5x+6,\ -4x-6$$;
2) да;
3) $$-3,\,-1,\,2$$;
4) $$32a^5-16a^4+\frac{16}{5}a^3-\frac{8}{25}a^2+\frac{2}{125}a-\frac{1}{3125}$$;
5) $$(4;\,-3),\ (17;\,10)$$;
6) $$\frac{3}{4},\ \frac{4}{3}$$;
7) $$(x+1)(x^2-3)(x^2+1)$$;
8) $$0,\ \frac{2-\sqrt{73}}{3},\ \frac{2+\sqrt{73}}{3}$$;
9) $$a=-2,\ b=0,\ x_3=0$$;
10) $$120x^2$$;
11) $$(-10;\,5)$$;
12) $$40$$ дней и $$30$$ дней.
