Проверь себя Глава 2 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

2. Найти остаток от деления числа 10 * 5^15 на 4.
3. Найти последнюю цифру числа а = 2^85 + З^73.
4. Не выполняя операций вычитания и деления, выяснить, делится ли число а = 8675423 — 5723468 на 3.
5. Выяснить, делится ли число 123456780 на 12.
6. Доказать, что при любом n принадлежит N число а = n3 + 35n делится на 6.

1. Найдём остаток от деления числа $$123456781$$ на $$9$$ по сумме цифр:

   $$1+2+3+4+5+6+7+8+1=37,$$

   $$3+7=10,\quad 1+0=1.$$

   Значит, $$123456781 \equiv 1 \pmod 9$$, остаток равен $$1$$.

2. Найдём остаток от деления $$10\cdot 5^{15}$$ на $$4$$:

   $$10 \equiv 2 \pmod 4,\quad 5 \equiv 1 \pmod 4,$$

   тогда

   $$10\cdot 5^{15} \equiv 2\cdot 1^{15} \equiv 2 \pmod 4.$$

   Остаток равен $$2$$.

3. Найдём последнюю цифру числа $$a=2^{85}+3^{73}$$.

   Последние цифры степеней числа $$2$$ повторяются с периодом $$4$$:

   $$2,\ 4,\ 8,\ 6.$$

   Так как $$85 \equiv 1 \pmod 4,$$ то последняя цифра числа $$2^{85}$$ равна $$2$$.

   Последние цифры степеней числа $$3$$ тоже повторяются с периодом $$4$$:

   $$3,\ 9,\ 7,\ 1.$$

   Так как $$73 \equiv 1 \pmod 4,$$ то последняя цифра числа $$3^{73}$$ равна $$3$$.

   Тогда последняя цифра суммы:

   $$2+3=5.$$

4. Проверим делимость числа $$a=8675423-5723468$$ на $$3$$.

   Сумма цифр первого числа:

   $$8+6+7+5+4+2+3=35,$$

   сумма цифр второго числа:

   $$5+7+2+3+4+6+8=35.$$

   Оба числа дают одинаковый остаток при делении на $$3$$, значит их разность делится на $$3$$:

   $$8675423-5723468 \equiv 35-35 \equiv 0 \pmod 3.$$

5. Проверим делимость числа $$123456780$$ на $$12$$.

   Сумма цифр:

   $$1+2+3+4+5+6+7+8+0=36,$$

   значит, число делится на $$3$$.

   Последние две цифры — $$80$$, а число $$80$$ делится на $$4$$.

   Следовательно, число делится и на $$3$$, и на $$4$$, значит делится на $$12$$.

6. Докажем, что число $$a=n^3+35n$$ делится на $$6$$ при любом $$n\in \mathbb{N}$$.

   Преобразуем:

   $$n^3+35n=n^3-n+36n=n(n^2-1)+36n=n(n-1)(n+1)+36n.$$

   Произведение $$n(n-1)(n+1)$$ — это произведение трёх последовательных целых чисел, поэтому оно делится на $$2$$ и на $$3$$, а значит, делится на $$6$$.

   Число $$36n$$ также делится на $$6$$.

   Сумма двух чисел, каждое из которых делится на $$6$$, тоже делится на $$6$$. Следовательно, $$n^3+35n$$ делится на $$6$$ при любом $$n\in \mathbb{N}$$.

Ответ

1) $$1$$; 2) $$2$$; 3) $$5$$; 4) да; 5) да; 6) делится на $$6$$ при любом $$n\in \mathbb{N}$$.