Упр.997 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 997. Известно, что tga = 2. Найти значение выражения:

1. $$\frac{\ctg a+\tg a}{\ctg a-\tg a}=\frac{\frac{1}{\tg a}+\tg a}{\frac{1}{\tg a}-\tg a}$$
   При $$\tg a=2$$ получаем:
   $$\frac{\frac12+2}{\frac12-2}=\frac{2{,}5}{-1{,}5}=-\frac53.$$

2. $$\frac{\sin a-\cos a}{\sin a+\cos a}=\frac{\frac{\sin a}{\cos a}-\frac{\cos a}{\cos a}}{\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\cos a}{\cos a}}=\frac{\tg a-1}{\tg a+1}$$
   Тогда
   $$\frac{2-1}{2+1}=\frac13.$$

3. $$\frac{2\sin a+3\cos a}{3\sin a-5\cos a}=\frac{\frac{2\sin a}{\cos a}+\frac{3\cos a}{\cos a}}{\frac{3\sin a}{\cos a}-\frac{5\cos a}{\cos a}}=\frac{2\tg a+3}{3\tg a-5}$$
   Подставим $$\tg a=2$$:
   $$\frac{2\cdot 2+3}{3\cdot 2-5}=7.$$

4. $$\frac{\sin^2 a+2\cos^2 a}{\sin^2 a-\cos^2 a}=\frac{\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}+\frac{2\cos^2 a}{\cos^2 a}}{\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}-\frac{\cos^2 a}{\cos^2 a}}=\frac{\tg^2 a+2}{\tg^2 a-1}$$
   Тогда
   $$\frac{2^2+2}{2^2-1}=2.$$

Ответ

1) $$-\frac53$$; 2) $$\frac13$$; 3) $$7$$; 4) $$2$$.