Упр.985 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) sin(5pi+x)=1
2) cos(x+3pi)=0
3) cos(5/2 pi +x)=-1
4) sin(9/2 pi+x)=-1

1. $$\sin(5\pi+x)=1$$
   
   Используем периодичность:
   $$\sin(5\pi+x)=\sin(x+\pi)$$
   Тогда
   $$\sin(x+\pi)=1$$
   Значит,
   $$x+\pi=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$
   Отсюда
   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$
2. $$\cos(x+3\pi)=0$$
   
   Так как
   $$\cos(x+3\pi)=\cos(x+\pi),$$
   получаем
   $$\cos(x+\pi)=0$$
   Тогда
   $$x+\pi=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$
   Отсюда
   $$x=-\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$
   Это можно записать и так:
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$
3. $$\cos\left(\frac{5\pi}{2}+x\right)=-1$$
   
   Преобразуем аргумент:
   $$\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-1$$
   Тогда
   $$x+\frac{\pi}{2}=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$
   Отсюда
   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$
4. $$\sin\left(\frac{9\pi}{2}+x\right)=-1$$
   
   Используем периодичность:
   $$\sin\left(\frac{9\pi}{2}+x\right)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$
   Тогда
   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-1$$
   Значит,
   $$x+\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$
   Отсюда
   $$x=-\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$
   Это можно записать и так:
   $$x=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$

2) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$

3) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$

4) $$x=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$