Упр.971 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 971. Доказать, что всякая хорда единичной окружности равна удвоенному синусу половины центрального угла, соответствующего этой хорде.

Рассмотрим треугольник $$AOB$$, где $$O$$ — центр единичной окружности. Тогда

$$OA=1,\quad OB=1,\quad \angle AOB=\alpha.$$

По теореме косинусов:

$$ AB^2=OA^2+OB^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos\alpha $$

$$ AB^2=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos\alpha=2-2\cos\alpha. $$

Используем формулу

$$ 1-\cos\alpha=2\sin^2\frac{\alpha}{2}. $$

Тогда

$$ AB^2=2(1-\cos\alpha)=2\cdot 2\sin^2\frac{\alpha}{2}=4\sin^2\frac{\alpha}{2}. $$

Так как длина хорды положительна, получаем

$$ AB=2\sin\frac{\alpha}{2}. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$AB=2\sin\frac{\alpha}{2}.$$