Упр.967 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1. Решить уравнение:
   1) $$\sin x=-1$$;
   2) $$\cos x=-1$$;
   3) $$\sin 3x=0$$;
   4) $$\cos 0{,}5x=0$$;
   5) $$\sin\left(\frac{x}{2}+6\pi\right)=1$$;
   6) $$\cos(5x+4\pi)=1$$.

1. $$\sin x=-1$$

   Синус равен $$-1$$ при

   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

2. $$\cos x=-1$$

   Косинус равен $$-1$$ при

   $$x=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

3. $$\sin 3x=0$$

   Синус равен нулю, когда аргумент кратен $$\pi$$:

   $$3x=\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   Тогда

   $$x=\frac{\pi k}{3},\quad k\in\mathbb{Z}.$$

4. $$\cos 0{,}5x=0$$

   Косинус равен нулю при

   $$0{,}5x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   Умножим на $$2$$:

   $$x=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

5. $$\sin\left(\frac{x}{2}+6\pi\right)=1$$

   Синус равен $$1$$ при

   $$\frac{x}{2}+6\pi=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   Тогда

   $$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}-6\pi+2\pi k=-\frac{11\pi}{2}+2\pi k,$$
   $$x=-11\pi+4\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

6. $$\cos(5x+4\pi)=1$$

   Косинус равен $$1$$ при

   $$5x+4\pi=2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   Тогда

   $$5x=2\pi k-4\pi=2\pi(k-2),$$
   $$x=\frac{2\pi(k-2)}{5},\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   Это можно записать и так:

   $$x=\frac{2\pi k}{5},\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$$
2) $$x=\pi+2\pi k$$
3) $$x=\frac{\pi k}{3}$$
4) $$x=\pi+2\pi k$$
5) $$x=-11\pi+4\pi k$$
6) $$x=\frac{2\pi k}{5}$$
$$k\in\mathbb{Z}$$