Упр.954 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 954. Две точки А и В, находящиеся на концах взаимно перпендикулярных диаметров окружности (рис. 113), начинают одновременно двигаться по окружности: точка А — по часовой стрелке, описывая каждую минуту дугу в 20°, точка В — против часовой стрелки, описывая каждую минуту дугу в 25°. Через сколько минут произойдёт первое; второе; k-e совпадение точек? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 954 1012

Точки движутся по окружности в противоположных направлениях, значит их относительная скорость равна

$$20^\circ+25^\circ=45^\circ \text{ в минуту}.$$

Так как точки находятся на концах взаимно перпендикулярных диаметров, то начальное расстояние между ними по дуге равно

$$90^\circ.$$

Первое совпадение произойдёт, когда одна точка «догонит» другую на дугу в $$90^\circ$$:

$$45^\circ \cdot t=90^\circ,$$

откуда

$$t=2.$$

Но совпадение точек на окружности повторяется через полный оборот, то есть через $$360^\circ$$ относительного движения. Поэтому для $$k$$-го совпадения имеем

$$45^\circ \cdot t=90^\circ+360^\circ(k-1).$$

Тогда

$$t=\frac{90+360(k-1)}{45}=2+8(k-1).$$

Следовательно,

$$t_k=8k-6.$$

Проверим второе совпадение:

$$t_2=8\cdot 2-6=10.$$

Ответ

Первое совпадение — через $$2$$ мин, второе — через $$10$$ мин, $$k$$-е совпадение — через $$8k-6$$ мин.