Упр.919 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
$$\log_a(x-1)+\log_a x>2$$
Объединим логарифмы:
$$\log_a\bigl(x(x-1)\bigr)>\log_a a^2$$
Область определения:
$$x-1>0,\quad x>0,\quad a>0,\quad a\ne1$$
То есть $$x>1$$.
Далее рассмотрим случаи.
1) Если $$a>1$$, то знак неравенства сохраняется:
$$x(x-1)>a^2$$
$$x^2-x-a^2>0$$
Корни уравнения $$x^2-x-a^2=0$$:
$$x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1+4a^2}}{2}$$
Так как парабола направлена вверх, получаем:
$$x<\frac{1-\sqrt{1+4a^2}}{2}\quad \text{или}\quad x>\frac{1+\sqrt{1+4a^2}}{2}$$
С учётом ОДЗ $$x>1$$ остаётся:
$$x>\frac{1+\sqrt{1+4a^2}}{2}$$
2) Если $$0<a<1$$, то знак неравенства меняется:
$$x(x-1)<a^2$$
$$x^2-x-a^2<0$$
Отсюда:
$$\frac{1-\sqrt{1+4a^2}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{1+4a^2}}{2}$$
С учётом $$x>1$$ получаем:
$$1<x<\frac{1+\sqrt{1+4a^2}}{2}$$
Если $$a\le 0$$ или $$a=1$$, решений нет.
$$\log_a^2 x^2>1$$
Положим $$t=\log_a x^2$$. Тогда:
$$t^2>1$$
$$ (t-1)(t+1)>0 $$
Значит,
$$t<-1 \quad \text{или}\quad t>1$$
То есть:
$$\log_a x^2<-1 \quad \text{или}\quad \log_a x^2>1$$
Область определения:
$$x\ne0,\quad a>0,\quad a\ne1$$
1) Если $$a>1$$, то:
$$x^2<a^{-1}\quad \text{или}\quad x^2>a$$
$$-\frac1{\sqrt a}<x<\frac1{\sqrt a}\quad \text{или}\quad x<-\sqrt a,\ x>\sqrt a$$
С учётом $$x\ne0$$:
$$x<-\sqrt a,\quad -\frac1{\sqrt a}<x<0,\quad 0<x<\frac1{\sqrt a},\quad x>\sqrt a$$
2) Если $$0<a<1$$, то:
$$x^2<a \quad \text{или}\quad x^2>a^{-1}$$
$$-\sqrt a<x<\sqrt a\quad \text{или}\quad x<-\frac1{\sqrt a},\ x>\frac1{\sqrt a}$$
С учётом $$x\ne0$$:
$$x<-\frac1{\sqrt a},\quad -\sqrt a<x<0,\quad 0<x<\sqrt a,\quad x>\frac1{\sqrt a}$$
Если $$a\le 0$$ или $$a=1$$, решений нет.
Ответ
1) Если $$a\le 0$$ или $$a=1$$, решений нет; если $$a>1$$, то $$x>\dfrac{1+\sqrt{1+4a^2}}{2}$$; если $$0<a<1$$, то $$1<x<\dfrac{1+\sqrt{1+4a^2}}{2}$$.
2) Если $$a\le 0$$ или $$a=1$$, решений нет; если $$0<a<1$$, то $$x<-\dfrac1{\sqrt a},\ -\sqrt a<x<0,\ 0<x<\sqrt a,\ x>\dfrac1{\sqrt a}$$; если $$a>1$$, то $$x<-\sqrt a,\ -\dfrac1{\sqrt a}<x<0,\ 0<x<\dfrac1{\sqrt a},\ x>\sqrt a$$.
