Упр.918 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Положим $$y=\log_a x.$$ Тогда исходное неравенство принимает вид

$$\frac{1}{y-1}+\frac{1}{2y+1}<-\frac{3}{2}.$$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1}{y-1}+\frac{1}{2y+1}+\frac{3}{2}<0,$$

$$\frac{2(2y+1)+2(y-1)+3(y-1)(2y+1)}{2(y-1)(2y+1)}<0,$$

$$\frac{6y^2+3y-3}{2(y-1)(2y+1)}<0,$$

$$\frac{3(2y^2+y-1)}{2(y-1)(2y+1)}<0,$$

$$\frac{3(2y-1)(y+1)}{2(y-1)(2y+1)}<0.$$

Критические точки: $$y=-1,\; y=-\frac12,\; y=\frac12,\; y=1.$$

По знакам дроби получаем:

$$-1<y<-\frac12 \quad \text{или} \quad \frac12<y<1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

1) если $$-1<\log_a x<-\frac12,$$ то

$$\log_a a^{-1}<\log_a x<\log_a a^{-1/2}.$$

Отсюда:

$$\frac{1}{\sqrt a}<x<\frac{1}{a}, \quad 0<a<1,$$

или

$$\frac{1}{a}<x<\frac{1}{\sqrt a}, \quad a>1.$$

2) если $$\frac12<\log_a x<1,$$ то

$$\log_a a^{1/2}<\log_a x<\log_a a^1.$$

Отсюда:

$$a<x<\sqrt a, \quad 0<a<1,$$

или

$$\sqrt a<x<a, \quad a>1.$$

Объединяя результаты, получаем:

$$0<a<1:\quad \frac{1}{\sqrt a}<x<\frac{1}{a}\ \text{и}\ a<x<\sqrt a;$$

$$a>1:\quad \frac{1}{a}<x<\frac{1}{\sqrt a}\ \text{и}\ \sqrt a<x<a.$$

При $$a<0$$ и $$a=1$$ решений нет.

Ответ

Если $$0<a<1,$$ то $$\frac{1}{\sqrt a}<x<\frac{1}{a}$$ и $$a<x<\sqrt a.$$

Если $$a>1,$$ то $$\frac{1}{a}<x<\frac{1}{\sqrt a}$$ и $$\sqrt a<x<a.$$

Если $$a<0$$ или $$a=1,$$ то решений нет.