Упр.916 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) логарифм (2^(x+2)-4^x) по основанию 1/3 > =-2
2) логарифм (6^(x+1)-36^x) по основанию 1/v5 > =-2

1) $$\log_{\frac13}(2^{x+2}-4^x)\ge -2.$$

Так как $$-2=\log_{\frac13}\left(\frac13\right)^{-2},$$ а основание $$\frac13<1,$$ то при переходе к показательной форме знак неравенства меняется:

$$2^{x+2}-4^x\le \left(\frac13\right)^{-2}=9.$$

Преобразуем:

$$4\cdot 2^x-2^{2x}\le 9,$$

$$2^{2x}-4\cdot 2^x+9\ge 0.$$

Положим $$t=2^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$t^2-4t+9\ge 0.$$

Дискриминант:

$$D=16-36=-20<0.$$

Так как старший коэффициент положителен, то $$t^2-4t+9>0$$ при всех $$t.$$ Значит, неравенство выполняется для всех $$x,$$ при которых определён логарифм.

Найдём область определения:

$$2^{x+2}-4^x>0,$$

$$4\cdot 2^x-2^{2x}>0,$$

$$2^x(4-2^x)>0.$$

Так как $$2^x>0,$$ то

$$4-2^x>0,\quad 2^x<4,\quad x<2.$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty;2).$$

2) $$\log_{\frac1{\sqrt5}}(6^{x+1}-36^x)\ge -2.$$

Так как $$-2=\log_{\frac1{\sqrt5}}\left(\frac1{\sqrt5}\right)^{-2},$$ а основание $$\frac1{\sqrt5}<1,$$ то

$$6^{x+1}-36^x\le \left(\frac1{\sqrt5}\right)^{-2}=5.$$

Преобразуем:

$$6\cdot 6^x-6^{2x}\le 5,$$

$$6^{2x}-6\cdot 6^x+5\ge 0.$$

Положим $$t=6^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$t^2-6t+5\ge 0,$$

$$ (t-1)(t-5)\ge 0.$$

Отсюда

$$t\le 1 \quad \text{или} \quad t\ge 5,$$

то есть

$$6^x\le 1 \quad \text{или} \quad 6^x\ge 5,$$

$$x\le 0 \quad \text{или} \quad x\ge \log_6 5.$$

Теперь учтём область определения:

$$6^{x+1}-36^x>0,$$

$$6\cdot 6^x-6^{2x}>0,$$

$$6^x(6-6^x)>0.$$

Так как $$6^x>0,$$ то

$$6-6^x>0,\quad 6^x<6,\quad x<1.$$

Пересекаем с найденным решением:

$$(-\infty;0]\cup[\log_6 5;+\infty)\;\cap\;(-\infty;1)=(-\infty;0]\cup[\log_6 5;1).$$

Ответ

1) $$(-\infty;2)$$

2) $$(-\infty;0]\cup[\log_6 5;1)$$