Упр.915 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

логарифм (2^x-5) по основанию 2 — логарифм (2^x-2) по основанию 2 = 2-х

ОДЗ:

$$2^x-5>0,\quad 2^x-2>0.$$

Так как $$2^x-5>0$$, то автоматически $$2^x-2>0$$. Значит, достаточно условия

$$2^x>5.$$

Преобразуем уравнение:

$$\log_2(2^x-5)-\log_2(2^x-2)=2-x,$$

$$\log_2\frac{2^x-5}{2^x-2}=2-x,$$

$$\frac{2^x-5}{2^x-2}=2^{2-x}.$$

Умножим на $$2^x-2$$:

$$2^x-5=2^{2-x}(2^x-2).$$

Раскроем скобки:

$$2^x-5=4-\frac{2^3}{2^x}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2^x-9+\frac{8}{2^x}=0.$$

Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:

$$t-9+\frac{8}{t}=0,$$

$$t^2-9t+8=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=9^2-4\cdot 8=81-32=49,$$

$$t_{1,2}=\frac{9\pm 7}{2}.$$

Тогда

$$t_1=1,\quad t_2=8.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$

$$2^x=8 \Rightarrow x=3.$$

Проверим ОДЗ: $$2^x>5$$, значит $$x=0$$ не подходит, а $$x=3$$ подходит.

Ответ

$$3$$