Упр.912 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 912. Найти три последовательных члена геометрической прогрессии, если их сумма равна 62, а сумма их десятичных логарифмов равна 3. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 912 1012

Пусть три последовательных члена геометрической прогрессии равны $$b_1,\; b_2,\; b_3,$$ где $$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2.$$

По условию:

$$\lg b_1+\lg b_2+\lg b_3=3,$$

$$b_1+b_2+b_3=62.$$

Из первого равенства получаем:

$$\lg(b_1b_2b_3)=3,$$

$$\lg\bigl(b_1\cdot b_1q\cdot b_1q^2\bigr)=3,$$

$$\lg(b_1^3q^3)=3,$$

$$\lg\bigl((b_1q)^3\bigr)=3,$$

$$3\lg(b_1q)=3,$$

$$\lg(b_1q)=1,$$

$$b_1q=10.$$

Тогда

$$b_1=\frac{10}{q}.$$

Подставим во второе равенство:

$$b_1+b_1q+b_1q^2=62,$$

$$\frac{10}{q}+10+10q=62,$$

$$10+10q+10q^2=62q,$$

$$10q^2-52q+10=0,$$

$$5q^2-26q+5=0.$$

Найдём корни:

$$D=26^2-4\cdot 5\cdot 5=676-100=576,$$

$$q_{1,2}=\frac{26\pm 24}{10}.$$

Отсюда

$$q_1=5,\quad q_2=\frac15.$$

Если $$q=5,$$ то

$$b_1=\frac{10}{5}=2,\quad b_2=2\cdot 5=10,\quad b_3=10\cdot 5=50.$$

Если $$q=\frac15,$$ то

$$b_1=\frac{10}{1/5}=50,\quad b_2=50\cdot \frac15=10,\quad b_3=10\cdot \frac15=2.$$

Ответ

$$2,\;10,\;50$$ или $$50,\;10,\;2.$$