Упр.911 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 911. Доказать, что если последовательность положительных чисел является геометрической прогрессией, то их логарифмы по одному и тому же основанию образуют арифметическую прогрессию. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 911 1012

Пусть $$b_1, b_2, b_3, \ldots, b_n, \ldots$$ — геометрическая прогрессия, причём все её члены положительны. Тогда для любого $$n$$ выполняется

$$b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}.$$

Возьмём логарифмы по одному и тому же основанию $$a$$:

$$\log_a b_n^2=\log_a(b_{n-1}b_{n+1}).$$

По свойствам логарифмов получаем

$$2\log_a b_n=\log_a b_{n-1}+\log_a b_{n+1}.$$

Это означает, что каждый член последовательности $$\log_a b_1,\log_a b_2,\log_a b_3,\ldots$$ равен полусумме соседних, то есть

$$\log_a b_n-\log_a b_{n-1}=\log_a b_{n+1}-\log_a b_n.$$

Следовательно, разность соседних членов постоянна, а значит, логарифмы образуют арифметическую прогрессию.

Ответ

Логарифмы членов геометрической прогрессии по одному и тому же основанию образуют арифметическую прогрессию.