Упр.909 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

$$\log_{3-x}\frac{4-x}{5-x}\le 1$$
Область определения:
$$3-x>0,\quad 3-x\ne 1,\quad \frac{4-x}{5-x}>0.$$
Отсюда
$$x<3,\quad x\ne 2,\quad x<4 \ \text{или}\ x>5.$$
Рассмотрим два случая.
1) Если $$x<2,$$ то основание $$3-x>1,$$ значит
$$\frac{4-x}{5-x}\le 3-x.$$
Тогда
$$4-x\le (3-x)(5-x),$$
$$4-x\le 15-8x+x^2,$$
$$x^2-7x+11\ge 0.$$
Корни уравнения $$x^2-7x+11=0$$:
$$x_{1,2}=\frac{7\pm \sqrt5}{2}.$$
Следовательно,
$$x\le \frac{7-\sqrt5}{2}\quad \text{или}\quad x\ge \frac{7+\sqrt5}{2}.$$
С учётом $$x<2$$ получаем
$$x\le \frac{7-\sqrt5}{2}.$$
2) Если $$x>2,$$ то основание $$0<3-x<1,$$ значит знак неравенства меняется:
$$\frac{4-x}{5-x}\ge 3-x.$$
Тогда
$$4-x\ge (3-x)(5-x),$$
$$x^2-7x+11\le 0.$$
Отсюда
$$\frac{7-\sqrt5}{2}\le x\le \frac{7+\sqrt5}{2}.$$
С учётом $$x>2$$ получаем
$$2<x\le \frac{7+\sqrt5}{2}.$$
Учитывая также область определения $$x>5$$, остаётся
$$x>5.$$
Объединяя результаты, получаем
$$x\in \left(-\infty;\frac{7-\sqrt5}{2}\right]\cup (5;+\infty).$$
$$\log_{2x}(x^2-5x+6)<1$$
Область определения:
$$2x>0,\quad 2x\ne 1,\quad x^2-5x+6>0.$$
То есть
$$x>0,\quad x\ne \frac12,\quad (x-2)(x-3)>0,$$
откуда
$$x<2 \ \text{или}\ x>3.$$
Рассмотрим два случая.
1) Если $$x>\frac12,$$ то основание $$2x>1,$$ значит
$$x^2-5x+6<2x.$$
Получаем
$$x^2-7x+6<0,$$
$$ (x-1)(x-6)<0,$$
$$1<x<6.$$
С учётом ОДЗ: $$1<x<2$$ или $$x>3.$$
2) Если $$0<x<\frac12,$$ то основание $$0<2x<1,$$ значит знак неравенства меняется:
$$x^2-5x+6>2x.$$
Тогда
$$x^2-7x+6>0,$$
$$ (x-1)(x-6)>0,$$
$$x<1 \ \text{или}\ x>6.$$
С учётом $$0<x<\frac12$$ получаем
$$0<x<\frac12.$$
Итак,
$$x\in \left(0;\frac12\right)\cup (1;2)\cup (3;6).$$