Упр.908 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

908.
1) 4*логарифм х по основанию 4-33*логарифм 4 по основанию х < =1 2) логарифм 3 по основанию x < =4*(1+логарифм х по основанию 1/3) 3) логарифм х^2 по основанию (x+2) > 1
4) логарифм (3х+6) по основанию (x^2+2) < =1

Подробный ответ

$$4\log_4 x-33\log_x 4\le 1.$$
Положим $$y=\log_4 x.$$ Тогда $$\log_x 4=\dfrac{1}{\log_4 x}=\dfrac{1}{y}.$$ Получаем
$$4y-\frac{33}{y}\le 1,$$
$$4y^2-y-33\le 0,$$
$$\frac{(4y+11)(y-3)}{1}\le 0.$$
Отсюда
$$-\frac{11}{4}\le y\le 3,\quad y\ne 0.$$
Возвращаясь к переменной $$x$$, имеем
$$-\frac{11}{4}\le \log_4 x\le 3,\quad x\ne 1.$$
Так как основание $$4>1$$, то
$$4^{-11/4}\le x\le 4^3,\quad x\ne 1.$$
С учётом области определения $$x>0,\ x\ne 1$$ получаем
$$x\in \left(0,4^{-11/4}\right]\cup (1,64].$$
$$\log_x 3\le 4\left(1+\log_{1/3}x\right).$$
Так как $$\log_{1/3}x=-\log_3 x,$$ а $$\log_x 3=\dfrac{1}{\log_3 x},$$ положим $$y=\log_3 x.$$ Тогда
$$\frac{1}{y}\le 4(1-y),$$
$$1-4y+4y^2\le 0,$$
$$\frac{(2y-1)^2}{y}\le 0.$$
Так как числитель неотрицателен, то неравенство выполняется только при
$$y=\frac12.$$
Следовательно,
$$\log_3 x=\frac12,\quad x=3^{1/2}=\sqrt3.$$
С учётом области определения $$x>0,\ x\ne 1$$ получаем
$$x\in (0,1)\cup \{\sqrt3\}.$$
$$\log_{x+2}x^2>1.$$
Область определения:
$$x+2>0,\quad x+2\ne 1,\quad x^2>0.$$
То есть
$$x>-2,\quad x\ne -1,\quad x\ne 0.$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x>-1,$$ то основание $$x+2>1,$$ и неравенство равносильно
$$x^2>x+2,$$
$$x^2-x-2>0,$$
$$ (x-2)(x+1)>0.$$
При $$x>-1$$ получаем $$x>2.$$
2) Если $$-2<x<-1,$$ то основание $$0<x+2<1,$$ и знак неравенства меняется:
$$x^2<x+2,$$
$$x^2-x-2<0,$$
$$ (x-2)(x+1)<0.$$
Но на промежутке $$(-2,-1)$$ это неравенство выполняется, однако здесь $$x^2>0$$ и область определения соблюдается. Значит, все такие $$x$$ подходят.
Итак,
$$x\in (-2,-1)\cup (2,+\infty).$$
$$\log_{x^2+2}(3x+6)\le 1.$$
Так как $$x^2+2>1$$ при любом $$x,$$ то неравенство равносильно
$$3x+6\le x^2+2,$$
$$x^2-3x-4\ge 0,$$
$$ (x-4)(x+1)\ge 0.$$
Отсюда
$$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 4.$$
Область определения:
$$3x+6>0 \;\Rightarrow\; x>-2.$$
Следовательно,
$$x\in (-2,-1]\cup [4,+\infty).$$