Упр.907 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 3+2*логарифм 3 по основанию (х+1) =2*логарифм (х+1) по основанию 3
2) 1+2*логарифм 5 по основанию (х+2) =логарифм (х+2) по основанию 5
3) логарифм (3+х) по основанию (1+х) =логарифм (х+1) по основанию (3+х)
4) логарифм (5х+3) по основанию (3х+7) =2-логарифм (3х+7) по основанию (5х+3)

1. $$3+2\log_{x+1}3=2\log_3(x+1)$$

   Пусть $$y=\log_3(x+1)$$, тогда $$\log_{x+1}3=\dfrac{1}{y}$$. Получаем:

   $$3+\frac{2}{y}-2y=0$$

   $$3y+2-2y^2=0$$

   $$2y^2-3y-2=0$$

   $$D=9+16=25$$

   $$y_1=\frac{3-5}{4}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{3+5}{4}=2$$

   Тогда:

   $$\log_3(x+1)=-\frac12 \Rightarrow x+1=3^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt3},\quad x=\frac{1}{\sqrt3}-1$$

   $$\log_3(x+1)=2 \Rightarrow x+1=3^2=9,\quad x=8$$

   Оба значения удовлетворяют области определения $$x>-1,\ x\ne 0$$.

2. $$1+2\log_{x+2}5=\log_5(x+2)$$

   Пусть $$y=\log_5(x+2)$$, тогда $$\log_{x+2}5=\dfrac{1}{y}$$. Получаем:

   $$1+\frac{2}{y}-y=0$$

   $$y+2-y^2=0$$

   $$y^2-y-2=0$$

   $$D=1+8=9$$

   $$y_1=-1,\qquad y_2=2$$

   Тогда:

   $$\log_5(x+2)=-1 \Rightarrow x+2=5^{-1}=\frac15,\quad x=-\frac95$$

   $$\log_5(x+2)=2 \Rightarrow x+2=25,\quad x=23$$

   Оба значения подходят при $$x>-2,\ x\ne -1$$.

3. $$\log_{x+1}(3+x)=\log_{x+3}(1+x)$$

   Используем формулу $$\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}$$:

   $$\log_{x+1}(3+x)=\frac{1}{\log_{x+1}(3+x)}$$

   Пусть $$y=\log_{x+1}(3+x)$$. Тогда

   $$y=\frac{1}{y} \Rightarrow y^2=1 \Rightarrow y=\pm 1$$

   Если $$y=1$$, то

   $$\log_{x+1}(3+x)=1 \Rightarrow 3+x=x+1,$$

   что невозможно.

   Если $$y=-1$$, то

   $$\log_{x+1}(3+x)=-1 \Rightarrow 3+x=(x+1)^{-1}$$

   $$ (x+3)(x+1)=1 $$

   $$x^2+4x+2=0$$

   $$D=16-8=8$$

   $$x=\frac{-4\pm 2\sqrt2}{2}=-2\pm\sqrt2$$

   С учётом области определения $$x>-1,\ x\ne 0,\ x\ne -3$$ подходит только

   $$x=\sqrt2-2$$

4. $$\log_{3x+7}(5x+3)=2-\log_{5x+3}(3x+7)$$

   Пусть $$y=\log_{3x+7}(5x+3)$$, тогда $$\log_{5x+3}(3x+7)=\dfrac{1}{y}$$. Получаем:

   $$y=2-\frac{1}{y}$$

   $$y^2=2y-1$$

   $$y^2-2y+1=0$$

   $$ (y-1)^2=0 \Rightarrow y=1 $$

   Тогда

   $$\log_{3x+7}(5x+3)=1 \Rightarrow 5x+3=3x+7$$

   $$2x=4,\quad x=2$$

   Проверка области определения: $$5x+3>0,\ 3x+7>0,\ 5x+3\ne 1,\ 3x+7\ne 1$$. Значение $$x=2$$ подходит.

Ответ

1) $$\frac{1}{\sqrt3}-1,\ 8$$; 2) $$-\frac95,\ 23$$; 3) $$\sqrt2-2$$; 4) $$2$$.