Упр.901 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. $$\log_3 x+\log_9 x+\log_{27} x=\frac{11}{12}$$
   
   Перепишем логарифмы с основанием $3$:
   $$\log_9 x=\frac{1}{2}\log_3 x,\qquad \log_{27} x=\frac{1}{3}\log_3 x$$
   Тогда
   $$ \log_3 x+\frac{1}{2}\log_3 x+\frac{1}{3}\log_3 x=\frac{11}{12} $$
   $$ \log_3 x\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)=\frac{11}{12} $$
   $$ \log_3 x\cdot \frac{11}{6}=\frac{11}{12} $$
   $$ \log_3 x=\frac{1}{2} $$
   $$ x=3^{1/2}=\sqrt{3} $$
2. $$\log_3 x+\log_{\sqrt{3}} x+\log_{1/3} x=6$$
   
   Приведём всё к основанию $3$:
   $$ \log_{\sqrt{3}} x=\log_{3^{1/2}} x=2\log_3 x,\qquad \log_{1/3} x=\log_{3^{-1}} x=-\log_3 x $$
   Тогда
   $$ \log_3 x+2\log_3 x-\log_3 x=6 $$
   $$ 2\log_3 x=6 $$
   $$ \log_3 x=3 $$
   $$ x=3^3=27 $$
3. $$\log_3 x\cdot \log_2 x=4\log_3 2$$
   
   Обозначим $$a=\log_3 x.$$ Тогда
   $$ \log_2 x=\frac{\log_3 x}{\log_3 2}=\frac{a}{\log_3 2} $$
   Подставим:
   $$ a\cdot \frac{a}{\log_3 2}=4\log_3 2 $$
   $$ a^2=4(\log_3 2)^2 $$
   $$ a=\pm 2\log_3 2 $$
   Значит,
   $$ \log_3 x=2\log_3 2 \quad \text{или} \quad \log_3 x=-2\log_3 2 $$
   $$ x=3^{2\log_3 2}=2^2=4 $$
   $$ x=3^{-2\log_3 2}=2^{-2}=\frac14 $$
4. $$\log_5 x\cdot \log_3 x=9\log_5 3$$
   
   Пусть $$a=\log_5 x.$$ Тогда
   $$ \log_3 x=\frac{\log_5 x}{\log_5 3}=\frac{a}{\log_5 3} $$
   Подставим:
   $$ a\cdot \frac{a}{\log_5 3}=9\log_5 3 $$
   $$ a^2=9(\log_5 3)^2 $$
   $$ a=\pm 3\log_5 3 $$
   Следовательно,
   $$ \log_5 x=3\log_5 3 \quad \text{или} \quad \log_5 x=-3\log_5 3 $$
   $$ x=5^{3\log_5 3}=3^3=27 $$
   $$ x=5^{-3\log_5 3}=3^{-3}=\frac{1}{27} $$

Ответ

1) $$\sqrt{3}$$; 2) $$27$$; 3) $$4,\ \frac14$$; 4) $$27,\ \frac{1}{27}$$