Упр.900 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

900.
1) 3^4x=10
2) 2^3x=3
3) 1,3^3x-2=3
4) (1/3)^5+4x=1,5
5) 16^x-4^(x+1)-14=0
6) 25^x+2*5^x-15=0

1. $$3^{4x}=10$$
   $$4x=\log_3 10$$
   $$x=\frac14\log_3 10=\log_{81}10.$$
2. $$2^{3x}=3$$
   $$3x=\log_2 3$$
   $$x=\frac13\log_2 3=\log_8 3.$$
3. $$1{,}3^{\,3x-2}=3$$
   $$3x-2=\log_{1{,}3}3$$
   $$3x=\log_{1{,}3}3+2$$
   $$x=\frac13\left(\log_{1{,}3}3+2\right).$$
4. $$\left(\frac13\right)^{5+4x}=1{,}5$$
   $$5+4x=\log_{\frac13}1{,}5$$
   $$4x=\log_{\frac13}1{,}5-5$$
   $$x=\frac14\left(\log_{\frac13}1{,}5-5\right).$$
5. $$16^x-4^{x+1}-14=0$$
   $$4^{2x}-4\cdot 4^x-14=0.$$
   Пусть $$y=4^x$$, тогда $$y>0$$ и
   $$y^2-4y-14=0.$$
   $$D=16+56=72,$$
   $$y=\frac{4\pm\sqrt{72}}{2}=2\pm 3\sqrt2.$$
   Так как $$y>0$$, то подходит только
   $$y=2+3\sqrt2.$$
   Тогда
   $$4^x=2+3\sqrt2,$$
   $$x=\log_4(2+3\sqrt2).$$
6. $$25^x+2\cdot 5^x-15=0$$
   $$5^{2x}+2\cdot 5^x-15=0.$$
   Пусть $$y=5^x$$, тогда $$y>0$$ и
   $$y^2+2y-15=0.$$
   $$D=4+60=64,$$
   $$y=\frac{-2\pm 8}{2}.$$
   Получаем $$y_1=3$$ и $$y_2=-5$$, но $$y>0$$, значит
   $$5^x=3,$$
   $$x=\log_5 3.$$

Ответ

1) $$\log_{81}10$$; 2) $$\log_8 3$$; 3) $$\frac13\left(\log_{1{,}3}3+2\right)$$; 4) $$\frac14\left(\log_{\frac13}1{,}5-5\right)$$; 5) $$\log_4(2+3\sqrt2)$$; 6) $$\log_5 3$$.