Упр.877 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

4^x*(v(16^(1-x)-1)+2) < 4*|4^x-1|

Рассмотрим неравенство

$$4^x\left(\sqrt{16^{\,1-x}-1}+2\right)<4|4^x-1|.$$

Так как $$4^x>0$$ при любом $$x$$, сначала разберём знак выражения под модулем.

1) Если $$x\ge 0$$, то $$4^x-1\ge 0$$, значит

$$4^x\left(\sqrt{16^{\,1-x}-1}+2\right)<4(4^x-1).$$

Преобразуем:

$$ 4^x\sqrt{16^{\,1-x}-1}+2\cdot 4^x<4^{x+1}-4 $$

$$ 4^x\sqrt{\frac{16}{16^x}-1}+2\cdot 4^x<4^{x+1}-4 $$

$$ 4^x\sqrt{\frac{16}{4^{2x}}-1}+2\cdot 4^x<4^{x+1}-4 $$

$$ 4^{2x}\left(\frac{16}{4^{2x}}-1\right)<4\cdot 4^{2x}-16\cdot 4^x+16 $$

$$ 16-4^{2x}<4\cdot 4^{2x}-16\cdot 4^x+16 $$

$$ 5\cdot 4^{2x}-16\cdot 4^x>0 $$

$$ 4^x(5\cdot 4^x-16)>0 $$

Так как $$4^x>0$$, получаем

$$5\cdot 4^x-16>0,$$

$$4^x>\frac{16}{5},$$

$$x&gt{\log_4\frac{16}{5}}=2-\log_4 5.$$

2) Если $$x<0$$, то $$4^x-1<0$$, значит

$$4^x\left(\sqrt{16^{\,1-x}-1}+2\right)<4(1-4^x).$$

Преобразуем:

$$ 4^x\sqrt{16^{\,1-x}-1}+2\cdot 4^x<4-4\cdot 4^x $$

$$ 4^x\sqrt{\frac{16}{4^{2x}}-1}<4-6\cdot 4^x $$

$$ 4^{2x}\left(\frac{16}{4^{2x}}-1\right)<16-48\cdot 4^x+36\cdot 4^{2x} $$

$$ 16-4^{2x}<16-48\cdot 4^x+36\cdot 4^{2x} $$

$$ 37\cdot 4^{2x}-48\cdot 4^x>0 $$

$$ 4^x(37\cdot 4^x-48)>0 $$

Следовательно,

$$37\cdot 4^x-48>0,$$

$$4^x>\frac{48}{37},$$

$$x&gt{\log_4\frac{48}{37}}.$$

3) Область определения.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$16^{\,1-x}-1\ge 0,$$

$$16^{\,1-x}\ge 1,$$

$$1-x\ge 0,$$

$$x\le 1.$$

С учётом найденных условий получаем:

при $$x\ge 0$$: $$x>2-\log_4 5$$;

при $$x<0$$: $$x&gt\log_4\frac{48}{37}$$, что невозможно вместе с $$x<0$$.

Значит, остаётся

$$x&gt2-\log_4 5,$$

и с учётом ОДЗ $$x\le 1$$.

Итак, решение неравенства:

$$2-\log_4 5<x\le 1.$$

Ответ

$$\left(2-\log_4 5;\,1\right].$$