Упр.876 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

2/(3^x-1) < =7/(9^x-2)

Рассмотрим неравенство

$$\frac{2}{3^x-1}\le \frac{7}{9^x-2}.$$

Положим $$t=3^x,$$ тогда $$t>0$$ и $$9^x=t^2.$$ Получаем

$$\frac{2}{t-1}\le \frac{7}{t^2-2}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{2(t^2-2)-7(t-1)}{(t-1)(t^2-2)}\le 0,$$

$$\frac{2t^2-7t+3}{(t-1)(t^2-2)}\le 0.$$

Числитель раскладывается на множители:

$$2t^2-7t+3=(2t-1)(t-3).$$

Тогда

$$\frac{(2t-1)(t-3)}{(t-1)(t^2-2)}\le 0.$$

Критические точки:

$$t=\frac12,\quad t=1,\quad t=\sqrt2,\quad t=3.$$

С учётом области определения $$t>0$$ и знаков множителей получаем

$$\frac12\le t<1 \quad \text{или} \quad \sqrt2\le t\le 3.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, имеем:

$$\frac12\le 3^x<1 \quad \Rightarrow \quad -\log_3 2\le x<0,$$

$$\sqrt2\le 3^x\le 3 \quad \Rightarrow \quad \log_3\sqrt2\le x\le 1.$$

Объединяя, получаем

$$x\in\left[-\log_3 2,\,0\right)\cup\left[\log_3\sqrt2,\,1\right].$$

Ответ

$$\left[-\log_3 2,\,0\right)\cup\left[\log_3\sqrt2,\,1\right].$$