Упр.875 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. Пусть $$y=\lg x$$. Тогда

   $$ \frac{1}{5-y}+\frac{2}{1+y}<1 $$

   $$ \frac{1+y+2(5-y)-(5-y)(1+y)}{(5-y)(1+y)}<0 $$

   $$ \frac{y^2-5y+6}{(5-y)(1+y)}<0 $$

   $$ \frac{(y-2)(y-3)}{(5-y)(1+y)}<0 $$

   $$ \frac{(y-2)(y-3)}{(y+1)(y-5)}>0 $$

   Отсюда
   $$ y<-1,\quad 2<y<3,\quad y>5. $$

   С учётом $$y=\lg x$$ и области определения $$x>0$$ получаем:
   $$ \lg x<-1 \Rightarrow 0<x<0{,}1, $$
   $$ 2<\lg x<3 \Rightarrow 100<x<1000, $$
   $$ \lg x>5 \Rightarrow x>100000. $$

2. $$ \log_3(2-3^{-x})<x+1-\log_3 4 $$

   $$ \log_3(2-3^{-x})<\log_3 3^x+\log_3 3-\log_3 4 $$

   $$ \log_3(2-3^{-x})<\log_3\frac{3^{x+1}}{4} $$

   Так как основание логарифма больше 1, то
   $$ 2-3^{-x}<\frac{3^{x+1}}{4}. $$

   Умножим на $$4\cdot 3^x>0$$:
   $$ 8-4\cdot 3^{-x}<3\cdot 3^x $$
   $$ 3\cdot 3^{2x}-8\cdot 3^x+4>0. $$

   Пусть $$y=3^x$$, тогда
   $$ 3y^2-8y+4>0. $$
   Корни:
   $$ D=64-48=16,\quad y_1=\frac{2}{3},\quad y_2=2. $$
   Значит,
   $$ y<\frac{2}{3}\quad \text{или}\quad y>2. $$

   С учётом области определения
   $$ 2-3^{-x}>0 \Rightarrow 3^{-x}<2 \Rightarrow x>\log_3\frac12=\log_3\frac{1}{2}. $$
   Тогда
   $$ 3^x<\frac{2}{3}\Rightarrow x<\log_3\frac{2}{3}, $$
   $$ 3^x>2\Rightarrow x>\log_3 2. $$

3. $$ \log_{3x+\frac14}(1-25x^2)>0 $$

   Область определения:
   $$ 3x+\frac14>0,\quad 3x+\frac14\ne 1,\quad 1-25x^2>0. $$

   Отсюда
   $$ x>-\frac{1}{12},\quad x\ne \frac14,\quad -\frac15<x<\frac15. $$

   Если $$x>\frac14$$, то $$1-25x^2<1$$, а при основании $$3x+\frac14>1$$ это даёт $$\log_{3x+\frac14}(1-25x^2)<0$$, поэтому решений нет.

   Если $$-\frac{1}{12}<x<\frac14$$, то $$0<3x+\frac14<1$$, и для положительного логарифма нужно
   $$ 1-25x^2>1, $$
   что невозможно.

   Следовательно,
   $$ x\in\left(-\frac{1}{12},0\right)\cup\left(0,\frac15\right). $$

4. $$ \log_{\frac{x-1}{5x-6}}(\sqrt6-2x)<0 $$

   Область определения:
   $$ \frac{x-1}{5x-6}>0,\quad \frac{x-1}{5x-6}\ne 1,\quad \sqrt6-2x>0. $$

   Из условия на основание:
   $$ x<1 \quad \text{или}\quad x>\frac65, $$
   а из неравенства $$\frac{x-1}{5x-6}\ne 1$$ получаем
   $$ x\ne \frac54. $$

   Так как логарифм меньше нуля, то возможны два случая:

   1) $$\frac{x-1}{5x-6}>1$$ и $$0<\sqrt6-2x<1$$;

   2) $$0<\frac{x-1}{5x-6}<1$$ и $$\sqrt6-2x>1$$.

   В результате получаем:
   $$ x\in\left(-\infty,\frac{\sqrt6-1}{2}\right)\cup\left(\frac65,\frac{\sqrt6}{2}\right). $$

Ответ

1) $$\left(0;0{,}1\right)\cup\left(100;1000\right)\cup\left(100000;+\infty\right)$$;
2) $$\left(\log_3\frac12;\log_3\frac23\right)\cup\left(\log_3 2;+\infty\right)$$;
3) $$\left(-\frac{1}{12};0\right)\cup\left(0;\frac15\right)$$;
4) $$\left(-\infty;\frac{\sqrt6-1}{2}\right)\cup\left(\frac65;\frac{\sqrt6}{2}\right)$$.