Упр.871 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) десятичный логарифм (x^2-8x+13) > 0
2) логарифм (X^2-5x+7) по основанию 1/5 < 0 3) логарифм (X^2+2x) по основанию 2 < 3 4) логарифм (X^2-5x-6) по основанию 1/2 > =-3

Подробный ответ

$$\lg(x^2-8x+13)>0$$
Так как основание десятичного логарифма больше 1, то
$$x^2-8x+13>1$$
$$x^2-8x+12>0$$
$$D=8^2-4\cdot 12=16$$
$$x_1=2,\quad x_2=6$$
$$x<2 \quad \text{или} \quad x>6$$
Проверим область определения:
$$x^2-8x+13>0$$
$$D=8^2-4\cdot 13=12$$
$$x=4\pm \sqrt{3}$$
$$x<4-\sqrt{3}\quad \text{или} \quad x>4+\sqrt{3}$$
Пересечение с найденным решением даёт:
$$(-\infty;2)\cup(6;+\infty)$$
$$\log_{\frac15}(x^2-5x+7)<0$$
Так как основание $$\frac15$$ лежит между 0 и 1, то неравенство равносильно
$$x^2-5x+7>1$$
$$x^2-5x+6>0$$
$$D=5^2-4\cdot 6=1$$
$$x_1=2,\quad x_2=3$$
$$x<2 \quad \text{или} \quad x>3$$
Область определения:
$$x^2-5x+7>0$$
$$D=5^2-4\cdot 7=-3<0$$
Так как старший коэффициент положителен, то $$x^2-5x+7>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$.
Следовательно,
$$(-\infty;2)\cup(3;+\infty)$$
$$\log_2(x^2+2x)<3$$
Так как основание $$2>1$$, то
$$x^2+2x<2^3$$
$$x^2+2x<8$$
$$x^2+2x-8<0$$
$$D=2^2+4\cdot 8=36$$
$$x_1=-4,\quad x_2=2$$
$$-4<x<2$$
Область определения:
$$x^2+2x>0$$
$$x(x+2)>0$$
$$x<-2 \quad \text{или} \quad x>0$$
Пересечение даёт:
$$(-4;-2)\cup(0;2)$$
$$\log_{\frac12}(x^2-5x-6)\ge -3$$
Так как основание $$\frac12$$ лежит между 0 и 1, то знак неравенства меняется:
$$x^2-5x-6\le \left(\frac12\right)^{-3}$$
$$x^2-5x-6\le 8$$
$$x^2-5x-14\le 0$$
$$D=5^2+4\cdot 14=81$$
$$x_1=-2,\quad x_2=7$$
$$-2\le x\le 7$$
Область определения:
$$x^2-5x-6>0$$
$$x^2-5x-6=(x-6)(x+1)$$
$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>6$$
Пересечение условий:
$$[-2;-1)\cup(6;7]$$