Упр.870 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) логарифм (x^2-4x+3) по основанию 8 < 1 2) логарифм (x^2-3x+2) по основанию 6 > = 1
3) логарифм (x^2+2x) по основанию 3 > 1
4) логарифм (x^2-2.5x) по основанию 2/3 < -1

1. $$\log_8(x^2-4x+3)<1$$
   Так как $$8>1$$, то
   $$x^2-4x+3<8.$$
   Тогда
   $$x^2-4x-5<0,$$
   $$ (x+1)(x-5)<0,$$
   откуда
   $$-1<x<5.$$
   
   Найдём область определения:
   $$x^2-4x+3>0,$$
   $$ (x-1)(x-3)>0,$$
   значит,
   $$x<1 \text{ или } x>3.$$
   
   Пересечение условий:
   $$(-1;1)\cup(3;5).$$
2. $$\log_6(x^2-3x+2)\ge 1$$
   
   Так как $$6>1$$, то
   $$x^2-3x+2\ge 6.$$
   Тогда
   $$x^2-3x-4\ge 0,$$
   $$ (x+1)(x-4)\ge 0,$$
   откуда
   $$x\le -1 \text{ или } x\ge 4.$$
   
   Область определения:
   $$x^2-3x+2>0,$$
   $$ (x-1)(x-2)>0,$$
   значит,
   $$x<1 \text{ или } x>2.$$
   
   Пересечение условий:
   $$(-\infty;-1]\cup[4;+\infty).$$
3. $$\log_3(x^2+2x)>1$$
   
   Так как $$3>1$$, то
   $$x^2+2x>3.$$
   Тогда
   $$x^2+2x-3>0,$$
   $$ (x+3)(x-1)>0,$$
   откуда
   $$x<-3 \text{ или } x>1.$$
   
   Область определения:
   $$x^2+2x>0,$$
   $$x(x+2)>0,$$
   значит,
   $$x<-2 \text{ или } x>0.$$
   
   Пересечение условий:
   $$(-\infty;-3)\cup(1;+\infty).$$
4. $$\log_{\frac23}(x^2-2{,}5x)<-1$$
   
   Так как $$0<\frac23<1$$, знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:
   $$x^2-2{,}5x>\left(\frac23\right)^{-1}=\frac32.$$
   Тогда
   $$2x^2-5x-3>0,$$
   $$ (2x+1)(x-3)>0,$$
   откуда
   $$x<-\frac12 \text{ или } x>3.$$
   
   Область определения:
   $$x^2-2{,}5x>0,$$
   $$x(x-2{,}5)>0,$$
   значит,
   $$x<0 \text{ или } x>2{,}5.$$
   
   Пересечение условий:
   $$(-\infty;-0{,}5)\cup(3;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-1;1)\cup(3;5)$$; 2) $$(-\infty;-1]\cup[4;+\infty)$$; 3) $$(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$$; 4) $$(-\infty;-0{,}5)\cup(3;+\infty)$$.