Упр.869 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

869.
1) логарифм ((3х-2)/(x^2+1)) по основанию 5 > 0
2) логарифм ((2х^2+3)/(x-7)) по основанию 1/2 > 0
3) десятичный логарифм (3х-4) < десятичный логарифм (2х+1) 4) логарифм (2х+3) по основанию 1/2 > логарифм (х+1) по основанию 1/2

1. $$\log_5 \frac{3x-2}{x^2+1} > 0$$

   Так как основание $$5>1$$, то

   $$\frac{3x-2}{x^2+1} > 1.$$

   Поскольку $$x^2+1>0$$ при любых $$x$$, получаем

   $$3x-2 > x^2+1,$$

   $$x^2-3x+3 < 0.$$

   Дискриминант:

   $$D= (-3)^2-4\cdot 1\cdot 3=9-12=-3<0.$$

   При $$a=1>0$$ квадратный трёхчлен всегда положителен, значит неравенство решений не имеет.

2. $$\log_{\frac12}\frac{2x^2+3}{x-7} < 0$$

   Так как основание $$\frac12<1$$, то

   $$\frac{2x^2+3}{x-7} > 1.$$

   С учётом области определения:

   $$\frac{2x^2+3}{x-7} > 0.$$

   Так как $$2x^2+3>0$$ при любых $$x$$, то нужно лишь

   $$x-7>0,$$

   $$x>7.$$

3. $$\lg(3x-4) < \lg(2x+1)$$

   Так как функция $$\lg x$$ возрастает, то

   $$3x-4 < 2x+1,$$

   $$x<5.$$

   Область определения:

   $$3x-4>0,\quad 2x+1>0.$$

   Отсюда

   $$x>\frac43,\quad x>-\frac12.$$

   Пересечение условий:

   $$x\in\left(\frac43;5\right).$$

4. $$\log_{\frac12}(2x+3) > \log_{\frac12}(x+1)$$

   Так как основание $$\frac12<1$$, знак неравенства меняется:

   $$2x+3 < x+1,$$

   $$x<-2.$$

   Область определения:

   $$2x+3>0,\quad x+1>0,$$

   то есть

   $$x>-\frac32,\quad x>-1.$$

   Совместить с условием $$x<-2$$ невозможно, значит решений нет.

Ответ

1) $$\varnothing$$; 2) $$(7;+\infty)$$; 3) $$\left(\frac43;5\right)$$; 4) $$\varnothing$$.