Упр.868 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) у=логарифм (x^2-4x+3) по основанию 5
2) у=логарифм ((3x+2)/(1-x)) по основанию 6
3) у=v(десятичный логарифм х+десятичный логарифм (х+2))
4) у= v(десятичный логарифм (х-1) +десятичный логарифм (х+1))

1. $$y=\log_5(x^2-4x+3)$$

   Для существования логарифма нужно:

   $$x^2-4x+3>0$$

   $$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$$

   $$ (x-1)(x-3)>0 $$

   Отсюда:

   $$x<1 \text{ или } x>3$$

2. $$y=\log_6\frac{3x+2}{1-x}$$

   Нужно, чтобы аргумент логарифма был положительным:

   $$\frac{3x+2}{1-x}>0$$

   Критические точки: $$x=-\frac23$$ и $$x=1$$.

   Исследуем знак дроби:

   $$-\frac23<x<1$$

3. $$y=\sqrt{\lg x+\lg(x+2)}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а логарифмы определены:

   $$ \begin{cases} \lg x+\lg(x+2)\ge 0,\\ x>0,\\ x+2>0 \end{cases} $$

   Объединим логарифмы:

   $$\lg\bigl(x(x+2)\bigr)\ge 0$$

   Так как основание 10 больше 1, получаем:

   $$x(x+2)\ge 1$$

   $$x^2+2x-1\ge 0$$

   $$x=-1\pm\sqrt2$$

   Тогда:

   $$x\le -1-\sqrt2 \text{ или } x\ge -1+\sqrt2$$

   С учётом $$x>0$$ получаем:

   $$x\ge \sqrt2-1$$

4. $$y=\sqrt{\lg(x-1)+\lg(x+1)}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а логарифмы определены:

   $$ \begin{cases} \lg(x-1)+\lg(x+1)\ge 0,\\ x-1>0,\\ x+1>0 \end{cases} $$

   Объединим логарифмы:

   $$\lg\bigl((x-1)(x+1)\bigr)\ge 0$$

   Следовательно:

   $$x^2-1\ge 1$$

   $$x^2\ge 2$$

   $$x\le -\sqrt2 \text{ или } x\ge \sqrt2$$

   С учётом $$x>1$$ получаем:

   $$x\ge \sqrt2$$

Ответ

1) $$D(x)=(-\infty;1)\cup(3;+\infty)$$

2) $$D(x)=\left(-\frac23;1\right)$$

3) $$D(x)=[\sqrt2-1;+\infty)$$

4) $$D(x)=[\sqrt2;+\infty)$$