Упр.867 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) логарифм (х-3) по основанию 15 + логарифм (х-5) по основанию 15 < 1 2) логарифм (х-2) по основанию 1/3 + логарифм (12-x) по основанию 1/3 > =-2

1. $$\log_{15}(x-3)+\log_{15}(x-5)<1$$

   Объединим логарифмы:
   $$\log_{15}\bigl((x-3)(x-5)\bigr)<\log_{15}15.$$

   Так как основание $$15>1$$, получаем:
   $$\begin{aligned} (x-3)(x-5)<15,\\ x^2-8x+15&<15,\\ x^2-8x&<0,\\ x(x-8)&<0. \end{aligned}$$

   Отсюда:
   $$0<x<8.$$

   Учитываем область определения:
   $$x-3>0,\quad x-5>0,$$
   значит
   $$x>5.$$

   Пересечение условий:
   $$x\in(5;8).$$

2. $$\log_{\frac13}(x-2)+\log_{\frac13}(12-x)\ge -2$$

   Объединим логарифмы:
   $$\log_{\frac13}\bigl((x-2)(12-x)\bigr)\ge \log_{\frac13}\left(\frac13\right)^{-2}.$$

   Так как
   $$\left(\frac13\right)^{-2}=9,$$
   а основание $$\frac13<1$$, знак неравенства меняется:
   $$\begin{aligned} (x-2)(12-x)&\le 9,\\ -x^2+14x-24&\le 9,\\ x^2-14x+33&\ge 0,\\ (x-3)(x-11)&\ge 0. \end{aligned}$$

   Тогда
   $$x\le 3 \quad \text{или} \quad x\ge 11.$$

   Область определения:
   $$x-2>0,\quad 12-x>0,$$
   значит
   $$2<x<12.$$

   Пересечение с ОДЗ:
   $$x\in(2;3]\cup[11;12).$$

Ответ

1) $$x\in(5;8)$$
2) $$x\in(2;3]\cup[11;12)$$