Упр.863 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 863. При каких значениях а уравнение (десятичный логарифм х)/(десятичный логарифм х-а-а^2)=2 имеет хотя бы один корень? Найти все корни этого уравнения.

Подробный ответ

Пусть

$$\frac{\lg x}{\lg(x-a-a^2)}=2.$$

Тогда

$$\lg x=2\lg(x-a-a^2)=\lg\bigl((x-a-a^2)^2\bigr),$$

откуда

$$x=(x-a-a^2)^2.$$

Решим полученное уравнение:

$$x=(x-a-a^2)^2$$

$$x=x^2-2(a+a^2)x+(a+a^2)^2$$

$$x^2-\bigl(2a^2+2a+1\bigr)x+\bigl(a^4+2a^3+a^2\bigr)=0.$$

Дискриминант:

$$D=\bigl(2a^2+2a+1\bigr)^2-4\bigl(a^4+2a^3+a^2\bigr)=(2a+1)^2.$$

Тогда корни квадратного уравнения:

$$x_1=\frac{2a^2+2a+1-(2a+1)}{2}=a^2,$$

$$x_2=\frac{2a^2+2a+1+(2a+1)}{2}=(a+1)^2.$$

Теперь учтём область определения исходного уравнения:

$$x>0,\qquad x-a-a^2>0.$$

Проверим корни.

1) Для $$x_1=a^2$$ нужно

$$a^2-a-a^2>0 \;\Longleftrightarrow\; -a>0 \;\Longleftrightarrow\; a<0.$$

Кроме того, $$a^2>0$$, значит $$a\ne 0$$.

2) Для $$x_2=(a+1)^2$$ нужно

$$ (a+1)^2-a-a^2>0 \;\Longleftrightarrow\; a+1>0 \;\Longleftrightarrow\; a>-1.$$

Кроме того, $$ (a+1)^2>0$$, значит $$a\ne -1.$$

3) Если корни совпадают, то

$$a^2=(a+1)^2 \;\Longleftrightarrow\; 2a+1=0 \;\Longleftrightarrow\; a=-\frac12.$$

При этом получается один корень $$x=\frac14$$.

Итак, уравнение имеет хотя бы один корень при всех $$a$$, кроме $$a=0$$ и $$a=-1$$. При этом:

если $$a<-1$$, то подходит только $$x=a^2$$;
если $$a=-\frac12$$, то единственный корень $$x=\frac14$$;
если $$-1<a<0$$ и $$a\ne -\frac12$$, то подходят оба корня $$x=a^2$$ и $$x=(a+1)^2$$;
если $$a>0$$, то подходит только $$x=(a+1)^2$$.