Упр.861 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: Найти все значения параметра а, при которых уравнение 5*логарифм х по основанию 5 + логарифм а по основанию х — 4*логарифм х по основанию 25 = а имеет корни. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 861 1012

Подробный ответ

Преобразуем уравнение:

$$5\log_5 x+\log_x a-4\log_{25}x=a.$$

Так как $$25=5^2,$$ то

$$\log_{25}x=\frac{\log_5 x}{\log_5 25}=\frac{\log_5 x}{2}.$$

Тогда

$$5\log_5 x+\log_x a-2\log_5 x=a,$$

$$3\log_5 x+\log_x a=a.$$

Используем формулу перехода к новому основанию:

$$\log_x a=\frac{1}{\log_a x}=\frac{\log_5 a}{\log_5 x}.$$

Обозначим $$t=\log_5 x,$$ тогда $$t\neq 0$$ и уравнение принимает вид

$$3t+\frac{\log_5 a}{t}=a.$$

Умножим на $$t$$:

$$3t^2-at+\log_5 a=0.$$

Чтобы уравнение имело корни по $$x,$$ оно должно иметь хотя бы одно действительное решение по $$t.$$ Для этого дискриминант неотрицателен:

$$D=a^2-12\log_5 a\ge 0.$$

Кроме того, из области определения нужно иметь

$$a>0,\quad a\ne 1.$$

Рассмотрим функцию

$$f(a)=a^2-12\log_5 a.$$

При $$a>0$$ она определена. Проверим, когда возможно равенство $$f(a)\ge 0.$$ Заметим, что при $$a=1$$ получаем $$f(1)=1>0,$$ но $$a=1$$ не подходит из-за основания логарифма. Для всех $$a>0,\ a\ne 1$$ условие существования корней выполняется.

Следовательно, уравнение имеет корни при

$$a>0,\quad a\ne 1.$$