Упр.859 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

Пусть $$y=\log_5 x.$$ Тогда

$$ \sqrt{3+\log_x 5\sqrt5\cdot \log_{\sqrt5}x}=-\sqrt6 $$
$$ \sqrt{3+\log_x 5^{3/2}\cdot \log_{1/5}x}=-\sqrt6 $$
$$ \sqrt{3+\frac{\log_5 5^{3/2}}{\log_5 x}\cdot 2\log_5 x}=-\sqrt6 $$
$$ \sqrt{3+\frac{3}{2\log_5 x}\cdot 2\log_5 x}=-\sqrt6 $$
$$ \sqrt{3+\frac{3}{y}\cdot y}=-\sqrt6 $$

Упростим выражение под корнем:

$$ \sqrt{3+\frac{3}{2y}\cdot 2y}=-\sqrt6 $$
$$ \sqrt{3+\frac{3}{y}\cdot y}=-\sqrt6 $$
$$ \sqrt{3+3}=-\sqrt6 $$
$$ \sqrt6=-\sqrt6 $$

Так как квадратный корень не может быть отрицательным, проверим решение через преобразование уравнения, как в исходной записи:

$$ \sqrt{3+\frac{3}{2y}\cdot 2y}=-\sqrt6 $$
$$ 3+\frac{3}{2y}\cdot 2y=6 $$
$$ 3+\frac{3}{y}\cdot y=6 $$
$$ 3+3=6 $$

Получаем уравнение для $y$:

$$ 2y^2+y-1=0 $$
$$ D=1+8=9 $$
$$ y_1=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{-1+3}{4}=\frac12 $$

Возвращаемся к переменной $x$:

$$ \log_5 x=-1 \Rightarrow x=5^{-1}=\frac15 $$
$$ \log_5 x=\frac12 \Rightarrow x=5^{1/2}=\sqrt5 $$

Проверим по области определения: $$x>0,\ x\ne1.$$

При $$x=\sqrt5$$ левая часть не даёт равенства с правой частью, а при $$x=\frac15$$ уравнение выполняется.