Упр.857 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

$$\log_2 x+\log_x 4=3.$$
Пусть $$t=\log_2 x,$$ тогда $$\log_x 4=\dfrac{\log_2 4}{\log_2 x}=\dfrac{2}{t}.$$
Получаем:
$$t+\frac{2}{t}=3,$$
$$t^2-3t+2=0,$$
$$t_1=1,\quad t_2=2.$$
Тогда
$$\log_2 x=1 \Rightarrow x=2,$$
$$\log_2 x=2 \Rightarrow x=4.$$
Область определения: $$x>0,\ x\ne 1.$$ Оба значения подходят.
$$\log_{2x-1}(2x-3)=\log_{2x-3}(2x-1).$$
Пусть $$t=\log_{2x-1}(2x-3).$$ Тогда
$$\log_{2x-3}(2x-1)=\frac{1}{t},$$
и уравнение принимает вид
$$t=\frac{1}{t}.$$
Отсюда
$$t^2=1,\quad t=1 \text{ или } t=-1.$$
1) Если $$\log_{2x-1}(2x-3)=1,$$ то
$$2x-3=2x-1,$$
что невозможно.
2) Если $$\log_{2x-1}(2x-3)=-1,$$ то
$$2x-3=\frac{1}{2x-1}.$$
Тогда
$$ (2x-3)(2x-1)=1,$$
$$4x^2-8x+3=1,$$
$$4x^2-8x+2=0,$$
$$2x^2-4x+1=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=16-8=8,$$
$$x=\frac{4\pm\sqrt{8}}{4}=1\pm\frac{\sqrt2}{2}.$$
Проверим область определения:
$$2x-3>0,\quad 2x-1>0,\quad 2x-3\ne 1,\quad 2x-1\ne 1.$$
Отсюда $$x>\frac32,$$ значит подходит только
$$x=1+\frac{\sqrt2}{2}.$$