Упр.856 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1+логарифм ((х+3)/(х+7)) по основанию 6 = 1/4*логарифм (x-1)^2 по основанию v6

Преобразуем уравнение:

$$1+\log_6\frac{x+3}{x+7}=\frac14\log_{\sqrt6}(x-1)^2.$$

Так как $$\log_{\sqrt6}(x-1)^2=\frac{\log_6 (x-1)^2}{\log_6 \sqrt6}=2\log_6 (x-1)^2,$$ то

$$\frac14\log_{\sqrt6}(x-1)^2=\frac12\log_6 (x-1)^2=\log_6|x-1|.$$

Тогда

$$1+\log_6\frac{x+3}{x+7}=\log_6|x-1|,$$

$$\log_6\frac{x+3}{x+7}+1=\log_6|x-1|,$$

$$\log_6\frac{x+3}{x+7}+\log_6 6=\log_6|x-1|,$$

$$\log_6\frac{6(x+3)}{x+7}=\log_6|x-1|,$$

откуда

$$\frac{6(x+3)}{x+7}=|x-1|.$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$x\ge 1,$$ то $$|x-1|=x-1.$$ Получаем

   $$\frac{6(x+3)}{x+7}=x-1,$$

   $$6(x+3)=(x-1)(x+7),$$

   $$6x+18=x^2+6x-7,$$

   $$x^2-25=0,$$

   $$x=-5 \text{ или } x=5.$$

   С учётом условия $$x\ge 1$$ подходит только $$x=5.$$

2. Если $$x<1,$$ то $$|x-1|=1-x.$$ Тогда

   $$\frac{6(x+3)}{x+7}=1-x,$$

   $$6(x+3)=(1-x)(x+7),$$

   $$6x+18=x+7-x^2-7x,$$

   $$x^2+12x+11=0,$$

   $$D=12^2-4\cdot 11=100,$$

   $$x=\frac{-12\pm 10}{2},$$

   $$x=-11 \text{ или } x=-1.$$

   Оба корня удовлетворяют условию $$x<1.$$

Проверка области допустимых значений: $$x\ne -7,\; x\ne -3,\; x\ne 1.$$ Найденные значения этому условию не противоречат.

Ответ

$$-11;\,-1;\,5.$$