Упр.855 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. $$\sqrt{\log_x 25+3}=\frac{1}{\log_5 x}.$$
   Так как $$\log_x 25=\frac{\log_5 25}{\log_5 x}=\frac{2}{\log_5 x},$$
   получаем
   $$\sqrt{\frac{2}{\log_5 x}+3}=\frac{1}{\log_5 x}.$$

   Пусть $$y=\log_5 x,$$ тогда
   $$ \sqrt{\frac{2}{y}+3}=\frac{1}{y}. $$
   Возведём в квадрат:
   $$ \frac{2}{y}+3=\frac{1}{y^2}. $$
   Умножим на $$y^2$$:
   $$ 2y+3y^2=1. $$
   Получаем квадратное уравнение:
   $$ 3y^2+2y-1=0. $$
   Тогда
   $$ D=2^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16, $$
   $$ y_1=\frac{-2-4}{6}=-1,\qquad y_2=\frac{-2+4}{6}=\frac13. $$

   Проверим:
   $$ y=-1 \Rightarrow \log_5 x=-1 \Rightarrow x=5^{-1}=\frac15; $$
   $$ y=\frac13 \Rightarrow \log_5 x=\frac13 \Rightarrow x=5^{1/3}=\sqrt[3]{5}. $$
   С учётом области определения оба значения подходят.

2. $$\sqrt{2\log_2^2 x+3\log_2 x-5}=\log_2(2x).$$
   Так как $$\log_2(2x)=1+\log_2 x,$$ положим
   $$y=\log_2 x.$$
   Тогда
   $$ \sqrt{2y^2+3y-5}=1+y. $$
   Возведём в квадрат:
   $$ 2y^2+3y-5=(1+y)^2=1+2y+y^2. $$
   Получаем
   $$ y^2+y-6=0, $$
   $$ (y+3)(y-2)=0. $$
   Значит,
   $$ y_1=-3,\qquad y_2=2. $$

   Проверим:
   $$ y=-3 \Rightarrow x=2^{-3}=\frac18; $$
   $$ y=2 \Rightarrow x=2^2=4. $$
   Оба значения удовлетворяют уравнению и области определения.

Ответ

1) $$x=\frac15,\ \sqrt[3]{5}$$; 2) $$x=\frac18,\ 4$$.