Упр.854 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)
Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.
$$\lg^2(x+1)=\lg(x+1)\cdot \lg(x-1)+2\lg^2(x-1)$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\lg^2(x+1)-\lg(x+1)\cdot \lg(x-1)-2\lg^2(x-1)=0.$$
Разделим на $$\lg^2(x-1)$$ и введём замену:
$$y=\frac{\lg(x+1)}{\lg(x-1)}.$$
Тогда получаем:
$$y^2-y-2=0.$$
$$D=1+8=9,$$
$$y_1=\frac{1-3}{2}=-1,\qquad y_2=\frac{1+3}{2}=2.$$
1) Если $$\frac{\lg(x+1)}{\lg(x-1)}=-1,$$ то
$$\lg(x+1)=-\lg(x-1),$$
$$\lg(x+1)=\lg\frac{1}{x-1},$$
$$x+1=\frac{1}{x-1},$$
$$ (x+1)(x-1)=1,$$
$$x^2-1=1,$$
$$x^2=2,\qquad x=\pm\sqrt2.$$
С учётом области определения $$x>1$$ подходит только $$x=\sqrt2.$$
2) Если $$\frac{\lg(x+1)}{\lg(x-1)}=2,$$ то
$$\lg(x+1)=2\lg(x-1),$$
$$\lg(x+1)=\lg(x-1)^2,$$
$$x+1=(x-1)^2,$$
$$x+1=x^2-2x+1,$$
$$x^2-3x=0,$$
$$x(x-3)=0,$$
$$x=0 \text{ или } x=3.$$
По области определения $$x>1,$$ значит подходит только $$x=3.$$
Итак, решение первого уравнения: $$x=\sqrt2,\ 3.$$
$$2\log_5(4-x)\cdot \log_{2x}(4-x)=3\log_5(4-x)-\log_5(2x).$$
Перепишем $$\log_{2x}(4-x)$$ через логарифмы по основанию $$5$$:
$$\log_{2x}(4-x)=\frac{\log_5(4-x)}{\log_5(2x)}.$$
Тогда
$$2\left(\frac{\log_5(4-x)}{\log_5(2x)}\right)^2-3\cdot \frac{\log_5(4-x)}{\log_5(2x)}+1=0.$$
Пусть
$$y=\frac{\log_5(4-x)}{\log_5(2x)}.$$
Тогда
$$2y^2-3y+1=0,$$
$$D=9-8=1,$$
$$y_1=\frac{3-1}{4}=\frac12,\qquad y_2=\frac{3+1}{4}=1.$$
1) Если $$\frac{\log_5(4-x)}{\log_5(2x)}=\frac12,$$ то
$$2\log_5(4-x)=\log_5(2x),$$
$$\log_5(4-x)^2=\log_5(2x),$$
$$ (4-x)^2=2x,$$
$$16-8x+x^2=2x,$$
$$x^2-10x+16=0,$$
$$D=100-64=36,$$
$$x_1=\frac{10-6}{2}=2,\qquad x_2=\frac{10+6}{2}=8.$$
По области определения $$4-x>0,\ 2x>0,$$ то есть $$0<x<4.$$
Подходит только $$x=2.$$
2) Если $$\frac{\log_5(4-x)}{\log_5(2x)}=1,$$ то
$$\log_5(4-x)=\log_5(2x),$$
$$4-x=2x,$$
$$3x=4,\qquad x=\frac43.$$
Это значение удовлетворяет области определения.
Итак, решение второго уравнения: $$x=2,\ \frac43.$$
Ответ
1) $$\sqrt2,\ 3$$; 2) $$2,\ \frac43$$.
