Упр.853 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) десятичный логарифм (6*5^x-25*20^x)-десятичный логарифм 25 = x
2) десятичный логарифм (2^x+x+4)=x-x*десятичный логарифм 5

1. $$\lg(6\cdot 5^x-25\cdot 20^x)-\lg 25=x.$$

   Объединим логарифмы:

   $$\lg\frac{6\cdot 5^x-25\cdot 20^x}{25}=x,$$

   откуда

   $$\frac{6\cdot 5^x-25\cdot 20^x}{25}=10^x.$$

   Умножим на $$25$$:

   $$6\cdot 5^x-25\cdot 20^x=25\cdot 10^x.$$

   Представим $$20^x=(4\cdot 5)^x=4^x\cdot 5^x$$, $$10^x=2^x\cdot 5^x$$ и разделим на $$5^x$$:

   $$6-25\cdot 4^x=25\cdot 2^x.$$

   Положим $$t=2^x$$, тогда $$4^x=t^2$$. Получаем:

   $$25t^2+25t-6=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=25^2+4\cdot 25\cdot 6=625+600=1225,$$

   $$t_{1,2}=\frac{-25\pm 35}{50}.$$

   Тогда

   $$t_1=\frac15,\qquad t_2=-\frac65.$$

   Так как $$t=2^x>0$$, подходит только $$t=\frac15$$. Значит,

   $$2^x=\frac15,\qquad x=\log_2\frac15=-\log_2 5.$$

2. $$\lg(2^x+x+4)=x-x\lg 5.$$

   Преобразуем правую часть:

   $$x-x\lg 5=x(1-\lg 5)=x\lg\frac{10}{5}=x\lg 2=\lg 2^x.$$

   Тогда

   $$\lg(2^x+x+4)=\lg 2^x,$$

   следовательно,

   $$2^x+x+4=2^x.$$

   Отсюда

   $$x+4=0,\qquad x=-4.$$

Ответ

1) $$x=-\log_2 5$$; 2) $$x=-4$$.