Упр.851 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) логарифм х по основанию 2 -2*логарифм 2 по основанию х =-1
2) логарифм х по основанию 2 + логарифм 2 по основанию х =2,5
3) логарифм х по основанию 3 + 2*логарифм 3 по основанию х =-3
4) логарифм х по основанию 3 -6*логарифм 3 по основанию х = 1

1. $$\log_2 x-2\log_x 2=-1.$$

   Положим $$t=\log_2 x,$$ тогда $$\log_x 2=\frac{1}{\log_2 x}=\frac{1}{t}.$$ Получаем:

   $$t-\frac{2}{t}=-1,$$

   $$t^2+t-2=0,$$

   $$t_1=-2,\quad t_2=1.$$

   Тогда

   $$\log_2 x=-2 \Rightarrow x=2^{-2}=\frac14,$$

   $$\log_2 x=1 \Rightarrow x=2.$$

2. $$\log_2 x+\log_x 2=2{,}5.$$

   Положим $$t=\log_2 x,$$ тогда $$\log_x 2=\frac{1}{t}.$$ Имеем:

   $$t+\frac{1}{t}=2{,}5,$$

   $$2t^2-5t+2=0,$$

   $$t_1=\frac12,\quad t_2=2.$$

   Следовательно,

   $$\log_2 x=\frac12 \Rightarrow x=2^{1/2}=\sqrt2,$$

   $$\log_2 x=2 \Rightarrow x=2^2=4.$$

3. $$\log_3 x+2\log_x 3=3.$$

   Положим $$t=\log_3 x,$$ тогда $$\log_x 3=\frac{1}{t}.$$ Получаем:

   $$t+\frac{2}{t}=3,$$

   $$t^2-3t+2=0,$$

   $$t_1=1,\quad t_2=2.$$

   Тогда

   $$\log_3 x=1 \Rightarrow x=3,$$

   $$\log_3 x=2 \Rightarrow x=9.$$

4. $$\log_3 x-6\log_x 3=1.$$

   Положим $$t=\log_3 x,$$ тогда $$\log_x 3=\frac{1}{t}.$$ Имеем:

   $$t-\frac{6}{t}=1,$$

   $$t^2-t-6=0,$$

   $$t_1=3,\quad t_2=-2.$$

   Следовательно,

   $$\log_3 x=3 \Rightarrow x=27,$$

   $$\log_3 x=-2 \Rightarrow x=3^{-2}=\frac19.$$

Ответ

1) $$\frac14,\ 2$$; 2) $$\sqrt2,\ 4$$; 3) $$3,\ 9$$; 4) $$\frac19,\ 27$$.