Упр.850 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) десятичный логарифм х — десятичный логарифм у=7
десятичный логарифм х + десятичный логарифм у=5
2) логарифм х по основанию 2+1/2*логарифм 1/у по основанию 2=4
ху=2

1. $$\begin{cases} \lg x-\lg y=7,\\ \lg x+\lg y=5. \end{cases}$$

   Сложим уравнения:
   $$2\lg x=12,$$
   откуда
   $$\lg x=6,\quad x=10^6.$$

   Подставим в первое уравнение:
   $$6-\lg y=7,$$
   значит
   $$\lg y=-1,\quad y=10^{-1}=0{,}1.$$

   $$\left(10^6;\,0{,}1\right).$$

2. $$\begin{cases} \log_2 x+\dfrac12\log_2\dfrac1y=4,\\ xy=2. \end{cases}$$

   Из второго уравнения:
   $$y=\dfrac2x.$$

   Подставим в первое:
   $$\log_2 x+\dfrac12\log_2\frac{x}{2}=4.$$

   Используем свойства логарифмов:
   $$\log_2 x+\log_2\left(\frac{x}{2}\right)^{1/2}=4,$$
   $$\log_2\left(x\cdot\left(\frac{x}{2}\right)^{1/2}\right)=4.$$

   Тогда
   $$x\cdot\left(\frac{x}{2}\right)^{1/2}=2^4,$$
   $$x^{3/2}\cdot 2^{-1/2}=16,$$
   $$x^{3/2}=16\sqrt2=2^{9/2}.$$

   Возводим в квадрат:
   $$x^3=2^9,$$
   $$x=2^3=8.$$

   Тогда
   $$y=\dfrac2{8}=\dfrac14=0{,}25.$$

   $$\left(8;\,0{,}25\right).$$

Ответ

1) $$\left(10^6;\,0{,}1\right);$$ 2) $$\left(8;\,0{,}25\right).$$