Упр.840 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

840.
1) логарифм (х-5) по основанию 2 + логарифм (х+2) по основанию 2 = 3
2) логарифм (х-2) по основанию 3 + логарифм (х+6) по основанию 3 =2
3) десятичный логарифм (x+vx)- десятичный логарифм (x-vx) =0
4) десятичный логарифм (x-1)+десятичный логарифм (x+1) = 0

1. $$\log_2(x-5)+\log_2(x+2)=3$$

   $$\log_2\bigl((x-5)(x+2)\bigr)=3$$

   $$ (x-5)(x+2)=2^3=8 $$

   $$ x^2-3x-10=8 $$

   $$ x^2-3x-18=0 $$

   $$ D= (-3)^2-4\cdot 1\cdot(-18)=9+72=81 $$

   $$ x=\frac{3\pm 9}{2} $$

   $$ x_1=-3,\quad x_2=6 $$

   ОДЗ: $$x-5>0,\; x+2>0 \Rightarrow x>5.$$

   Подходит только $$x=6.$$

2. $$\log_3(x-2)+\log_3(x+6)=2$$

   $$\log_3\bigl((x-2)(x+6)\bigr)=2$$

   $$ (x-2)(x+6)=3^2=9 $$

   $$ x^2+4x-12=9 $$

   $$ x^2+4x-21=0 $$

   $$ D=4^2-4\cdot 1\cdot(-21)=16+84=100 $$

   $$ x=\frac{-4\pm 10}{2} $$

   $$ x_1=-7,\quad x_2=3 $$

   ОДЗ: $$x-2>0,\; x+6>0 \Rightarrow x>2.$$

   Подходит только $$x=3.$$

3. $$\lg(x+\sqrt{3})+\lg(x-\sqrt{3})=0$$

   $$\lg\bigl((x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})\bigr)=0$$

   $$ (x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=1 $$

   $$ x^2-3=1 $$

   $$ x^2=4 $$

   $$ x=\pm 2 $$

   ОДЗ: $$x+\sqrt{3}>0,\; x-\sqrt{3}>0 \Rightarrow x>\sqrt{3}.$$

   Подходит только $$x=2.$$

4. $$\lg(x-1)+\lg(x+1)=0$$

   $$\lg\bigl((x-1)(x+1)\bigr)=0$$

   $$ (x-1)(x+1)=1 $$

   $$ x^2-1=1 $$

   $$ x^2=2 $$

   $$ x=\pm \sqrt{2} $$

   ОДЗ: $$x-1>0,\; x+1>0 \Rightarrow x>1.$$

   Подходит только $$x=\sqrt{2}.$$

Ответ

1) $$6$$; 2) $$3$$; 3) $$2$$; 4) $$\sqrt{2}$$.