Упр.833 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)
1) 1/2+десятичный логарифм 3 и десятичный логарифм 19-десятичный логарифм 2
2) ((десятичный логарифм 5+десятичный логарифм v7)/2) и десятичный логарифм ((5+v7)/2)
3) 3( десятичный логарифм 7 — десятичный логарифм 5) и десятичный логарифм 9 — 2/3*десятичный логарифм 8
$$\frac12+\lg 3=\lg 10^{1/2}+\lg 3=\lg(3\sqrt{10})=\lg\sqrt{90}.$$
$$\lg 19-\lg 2=\lg\frac{19}{2}=\lg 9{,}5.$$
Так как $$\sqrt{90}<9{,}5,$$ то
$$\frac12+\lg 3<\lg 19-\lg 2.$$
$$\frac{\lg 5+\lg\sqrt7}{2}=\frac{\lg(5\sqrt7)}{2}=\lg\sqrt{5\sqrt7}.$$
Сравним аргументы логарифмов:
$$\sqrt{5\sqrt7}\ \text{и}\ \frac{5+\sqrt7}{2}.$$
Обе величины положительны, поэтому достаточно сравнить их квадраты:
$$5\sqrt7 \ \text{и}\ \frac{(5+\sqrt7)^2}{4}.$$
$$20\sqrt7 \ \text{и}\ 25+10\sqrt7+7,$$
$$10\sqrt7 \lt 32,$$
что верно, так как $$100\cdot 7=700<1024=32^2.$$
Значит,
$$\frac{\lg 5+\lg\sqrt7}{2}<\lg\frac{5+\sqrt7}{2}.$$
$$3(\lg 7-\lg 5)=3\lg\frac75=\lg\left(\frac75\right)^3=\lg\frac{343}{125}.$$
$$\lg 9-\frac23\lg 8=\lg 9-\lg 8^{2/3}=\lg\frac{9}{4}.$$
Сравним дроби:
$$\frac{343}{125}=\frac{1372}{500}, \qquad \frac94=\frac{1125}{500}.$$
Так как $$1372>1125,$$ то
$$3(\lg 7-\lg 5)>\lg 9-\frac23\lg 8.$$
Ответ
1) $$\frac12+\lg 3<\lg 19-\lg 2$$
2) $$\frac{\lg 5+\lg\sqrt7}{2}<\lg\frac{5+\sqrt7}{2}$$
3) $$3(\lg 7-\lg 5)>\lg 9-\frac23\lg 8$$
