Упр.832 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 832. Доказать, что функция у = логарифм (х^2 — 1) по основанию 2 возрастает на промежутке х > 1.

Найдём область определения функции:

$$x^2-1>0$$

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)>0$$

Отсюда

$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>1.$$

Рассмотрим промежуток $$x>1.$$ Если $$x_2>x_1>1,$$ то

$$x_2^2>x_1^2>1,$$

значит,

$$x_2^2-1>x_1^2-1>0.$$

Так как логарифмическая функция с основанием $$2>1$$ возрастает, то

$$\log_2\left(x_2^2-1\right)>\log_2\left(x_1^2-1\right).$$

Следовательно, функция $$y=\log_2\left(x^2-1\right)$$ возрастает на луче $$\left(1;+\infty\right).$$

Ответ

Функция возрастает на промежутке $$\left(1;+\infty\right).$$