Упр.817 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 817. К 2000 г. известные запасы угля в мире составляли 5 • 1012 т. Мера потребления угля в мире равна 2,2 • 109 т в год. 1) На сколько лет хватит имеющихся запасов угля при данном его потреблении? 2) На сколько лет хватит запасов, если его потребление будет ежегодно увеличиваться на 5%? на 4%? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 817 1012

Обозначим:

$$M=5\cdot 10^{12}\text{ т}$$

$$m=2{,}2\cdot 10^9\text{ т/год}$$

1) При равномерном потреблении

Ищем число лет:

$$n=\frac{M}{m}=\frac{5\cdot 10^{12}}{2{,}2\cdot 10^9}\approx 2{,}273\cdot 10^3\approx 2273.$$

Значит, запасов хватит примерно на $$2273$$ года.

2) Если потребление ежегодно увеличивается на 5%

За $$t$$ лет будет израсходовано:

$$2{,}2\cdot 10^9\left(1+1{,}05+1{,}05^2+\cdots+1{,}05^{t-1}\right).$$

Это сумма геометрической прогрессии:

$$2{,}2\cdot 10^9\cdot \frac{1{,}05^t-1}{0{,}05}=5\cdot 10^{12}.$$

Тогда

$$1{,}05^t-1=\frac{5\cdot 10^{12}\cdot 0{,}05}{2{,}2\cdot 10^9}\approx 113{,}64,$$

$$1{,}05^t\approx 114{,}64.$$

Следовательно,

$$t=\log_{1{,}05}114{,}64\approx 97.$$

Значит, запасов хватит примерно на $$97$$ лет.

3) Если потребление ежегодно увеличивается на 4%

Аналогично:

$$2{,}2\cdot 10^9\cdot \frac{1{,}04^t-1}{0{,}04}=5\cdot 10^{12}.$$

Тогда

$$1{,}04^t-1=\frac{5\cdot 10^{12}\cdot 0{,}04}{2{,}2\cdot 10^9}\approx 90{,}91,$$

$$1{,}04^t\approx 91{,}91.$$

Следовательно,

$$t=\log_{1{,}04}91{,}91\approx 115.$$

Значит, запасов хватит примерно на $$115$$ лет.

Ответ

1) $$2273$$ года; 2) при росте потребления на $$5\%$$ — $$97$$ лет, на $$4\%$$ — $$115$$ лет.