Упр.812 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. $$\log_2^2 x-9\log_8 x=4.$$

   Так как $$\log_8 x=\dfrac{\log_2 x}{3},$$ получаем

   $$\log_2^2 x-3\log_2 x-4=0.$$

   Пусть $$t=\log_2 x$$. Тогда

   $$t^2-3t-4=0,$$

   $$D=9+16=25,$$

   $$t_1=\dfrac{3-5}{2}=-1,\qquad t_2=\dfrac{3+5}{2}=4.$$

   Тогда

   $$x_1=2^{-1}=\dfrac12,\qquad x_2=2^4=16.$$

2. $$16\log_{16}^2 x+3\log_4 x-1=0.$$

   Переходим к основанию $$4$$:

   $$16\left(\log_{16} x\right)^2+3\log_4 x-1=0,$$

   $$\log_{16} x=\dfrac14\log_4 x.$$

   Пусть $$t=\log_4 x$$. Тогда

   $$16\left(\dfrac{t}{4}\right)^2+3t-1=0,$$

   $$t^2+3t-1=0.$$

   Решаем квадратное уравнение:

   $$D=9+4=13,$$

   $$t_{1,2}=\dfrac{-3\pm\sqrt{13}}{2}.$$

   Следовательно,

   $$x_1=4^{\frac{-3-\sqrt{13}}{2}},\qquad x_2=4^{\frac{-3+\sqrt{13}}{2}}.$$

3. $$\log_3^2 x+5\log_9 x-1{,}5=0.$$

   Так как $$\log_9 x=\dfrac{\log_3 x}{2},$$ получаем

   $$\log_3^2 x+\dfrac52\log_3 x-1{,}5=0.$$

   Умножим на $$2$$:

   $$2\log_3^2 x+5\log_3 x-3=0.$$

   Пусть $$t=\log_3 x$$. Тогда

   $$2t^2+5t-3=0,$$

   $$D=25+24=49,$$

   $$t_1=\dfrac{-5-7}{4}=-3,\qquad t_2=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12.$$

   Тогда

   $$x_1=3^{-3}=\dfrac1{27},\qquad x_2=3^{1/2}=\sqrt3.$$

4. $$\log_3^2 x-15\log_{27} x+6=0.$$

   Так как $$\log_{27} x=\dfrac{\log_3 x}{3},$$ имеем

   $$\log_3^2 x-5\log_3 x+6=0.$$

   Пусть $$t=\log_3 x$$. Тогда

   $$t^2-5t+6=0,$$

   $$\left(t-2\right)\left(t-3\right)=0.$$

   Отсюда

   $$t_1=2,\qquad t_2=3.$$

   Следовательно,

   $$x_1=3^2=9,\qquad x_2=3^3=27.$$

Ответ

1) $$\dfrac12; 16$$; 2) $$4^{\frac{-3-\sqrt{13}}{2}}; 4^{\frac{-3+\sqrt{13}}{2}}$$; 3) $$\dfrac1{27}; \sqrt3$$; 4) $$9; 27$$.