Упр.810 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 810. Выразить логарифм 140 по основанию 350 через m и n, если m=логарифм 2 по основанию 5, n=логарифм 5 по основанию 7. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 810 1012

Пусть $$m=\log_5 2,$$ $$n=\log_7 5.$$ Тогда

$$\log_{350}140=\frac{\log_7 140}{\log_7 350}.$$

Разложим числа на множители:

$$140=7\cdot 20,\qquad 350=7\cdot 50.$$

Тогда

$$\log_{350}140=\frac{\log_7(7\cdot 20)}{\log_7(7\cdot 50)}=\frac{\log_7 7+\log_7 20}{\log_7 7+\log_7 50}=\frac{1+\log_7 20}{1+\log_7 50}.$$

Далее:

$$\log_7 20=\log_7(5\cdot 4)=\log_7 5+\log_7 2^2=n+2\log_7 2,$$

$$\log_7 50=\log_7(25\cdot 2)=2\log_7 5+\log_7 2=2n+\log_7 2.$$

Найдём $$\log_7 2$$ через $$m$$ и $$n$$:

$$m=\log_5 2=\frac{\log_7 2}{\log_7 5}=\frac{\log_7 2}{n},$$

значит

$$\log_7 2=mn.$$

Подставим:

$$\log_{350}140=\frac{1+n+2mn}{1+2n+mn}.$$

Ответ

$$\frac{1+n+2mn}{1+2n+mn}$$